魯教版初二上數學知識點梳理
第一章三角形
⒈ 三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.
三角形有三條邊，三個內角，三個頂點.組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角; 相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點， 三角形abc用符號表示為△abc，三角形abc的邊ab可用邊ab所對的角c的小寫字母c 表示，ac可用b表示，bc可用a表示.
注意：（1）三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；
（2）三角形是乙個封閉的圖形；
（3）△abc是三角形abc的符號標記，單獨的△沒有意義．
⒉ 三角形的分類：
(1)按邊分類：
(2)按角分類：
⒊ 三角形的主要線段的定義：
（1）三角形的中線
三角形中，鏈結乙個頂點和它對邊中點的線段．
表示法：1.ad是△abc的bc上的中線.
2.bd=dc=bc.
注意：①三角形的中線是線段；
②三角形三條中線全在三角形的內部；
③三角形三條中線交於三角形內部一點；
④中線把三角形分成兩個面積相等的三角形．
（2）三角形的角平分線
三角形乙個內角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段
表示法：1.ad是△abc的∠bac的平分線.
2.∠1=∠2=∠bac.
注意：①三角形的角平分線是線段；
②三角形三條角平分線全在三角形的內部；
③三角形三條角平分線交於三角形內部一點；
④用量角器畫三角形的角平分線．
（3）三角形的高
從三角形的乙個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．
表示法：1.ad是△abc的bc上的高線.
2.ad⊥bc於d.
3.∠adb=∠adc=90°.
注意：①三角形的高是線段；
②銳角三角形三條高全在三角形的內部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；
③三角形三條高所在直線交於一點．
如圖5,6,7，三角形的三條高交於一點，銳角三角形的三條高的交點在三角形內部，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部，直角三角形的三條高的交點在直角三角形的直角頂點上.
4．三角形的三邊關係
三角形的任意兩邊之和大於第三邊;任意兩邊之差小於第三邊.
注意：（1）三邊關係的依據是：兩點之間線段是短；
（2）圍成三角形的條件是任意兩邊之和大於第三邊．
5. 三角形的角與角之間的關係：
(1)三角形三個內角的和等於180;（三角形的內角和定理）
(2) 直角三角形的兩個銳角互餘.
6．三角形的穩定性：
三角形的三邊長確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩定性．
注意：（1）三角形具有穩定性；
（2）四邊形沒有穩定性.
7．三角形全等：
全等形：能夠完全重合的圖形叫做全等形.
全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.
對應頂點、對應邊、對應角：把兩個全等的三角形重合到一起.重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角.
全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等、對應角相等.
三角形全等的判定方法：
1. 三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「邊邊邊」或「sss」）.
2. 兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「邊角邊」或「sas」）.
3. 兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「角邊角」或「asa」）.
4. 兩個角和其中乙個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「角角邊」或「aas」）.
三角形全等的應用：測距離
要善於靈活選擇適當的方法判定兩個三角形全等。
（1）已知條件中有兩角對應相等，可找：
①夾邊相等（asa）②任一組等角的對邊相等(aas)
（2）已知條件中有兩邊對應相等，可找
①夾角相等(sas)②第三組邊也相等(sss)
（3）已知條件中有一邊一角對應相等，可找
①任一組角相等(aas 或 asa)②夾等角的另一組邊相等(sas)
第二章軸對稱
軸對稱現象
1.軸對稱圖形:(1)如果乙個圖形沿一條直線摺疊後，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫軸對稱圖形。
這條直線叫對稱軸。(注意:對稱軸是一條直線,不是線段,也不是射線)。
(2)軸對稱圖形至少有一條對稱軸,最多可達無數條。
例:①圓的對稱軸是它的直徑( × ) 直徑是線段,而對稱軸是直線(應說圓的對稱軸是過圓心的直線或直徑所在的直線);
②角的對稱軸是它的角平分線( × ) 角平分線是射線而不是直線(應說角的對稱軸是角平分線所在的直線);
③正方形的對角線是正方形的對稱軸( × ) 對角線也是線段而不是直線。
[, , , ]
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2.軸對稱: (1)對於兩個圖形，如果沿一條直線摺疊後，它們能夠完全重合，那麼稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸。(成軸對稱的兩圖形本身可以不是軸對稱圖形)。
(2)軸對稱圖形與軸對稱的關係:
①聯絡:都是沿一條直線摺疊後能夠互相重合;當把成軸對稱的兩個圖形看成乙個整體時,它是乙個軸對稱圖形；
②區別:軸對稱圖形是乙個圖形,軸對稱是兩個圖形之間的關係。
用座標表示軸對稱小結：
1.在平面直角座標系中
①關於x軸對稱的點橫座標相等,縱座標互為相反數;
②關於y軸對稱的點橫座標互為相反數,縱座標相等;
③關於原點對稱的點橫座標和縱座標互為相反數；
④與x軸或y軸平行的直線的兩個點橫（縱）座標的關係；
⑤關於與直線x=c或y=c對稱的座標
點（x, y）關於x軸對稱的點的座標為_ （x, -y）_____.
點（x, y）關於y軸對稱的點的座標為___（-x, y）___.
簡單的軸對稱圖形
有兩邊相等的三角形叫等腰三角形。
1.三線合一定理:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱為「三線合一」,它們所在的直線就是等腰三角形的對稱軸）。
注意:對於一般的等腰三角形,一定要說清哪邊上的中線、高和哪個角的平分線;等邊三角形有三組三線合一,任意一邊上的中線和高及其所對的角的平分線。
2.等角對等邊,等邊對等角:如果乙個三角形有兩個角相等，那麼它們所對的邊也相等; 如果乙個三角形有兩個邊相等，那麼它們所對的角也相等。
3.角平分線定理:角平分線上的任意一點到角的兩邊的距離(垂線段)相等。
4.中垂線定理(1)概念:既垂直又平分線段的直線叫垂直平分線,簡稱中垂線
(2)定理:垂直平分線上的任一點到線段兩端點的距離(與端點的連線)相等。
（3）三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等
5.（等腰三角形)知識點回顧
1.等腰三角形的性質
①.等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等角）
②.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）
理解：已知等腰三角形的一線就可以推知另兩線。
2、等腰三角形的判定：
如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等。（等角對等邊）
6、（等邊三角形）知識點回顧
1.等邊三角形的性質：
等邊三角形的三個角都相等，並且每乙個角都等於600 。
2、等邊三角形的判定：
①三個角都相等的三角形是等邊三角形。
②有乙個角是600的等腰三角形是等邊三角形。
3.在直角三角形中，如果乙個銳角等於300，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
探索軸對稱的性質
1.對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；
2.軸對稱圖形對應線段相等，對應角相等。
利用軸對稱設計圖案
1.畫點a關於直線l的對應點a: 1、過點a作對稱軸l的垂線，垂足為b
2、延長ab至a，使得b a=ab
3、點a就是點a關於直線l的對應點
2.畫線段ab關於l的對應線段ab: 1、過點a作對稱軸l的垂線a a，使ca=c a
2、過點a作對稱軸l的垂線b b，使db=db
3、連線ab，ab即是關於直線l的對應線段。
第三章勾股定理
探索勾股定理
勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c，那麼a2 +b2=c2 ,即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。(乙個直角三角形,以它的兩直角邊為邊長所作的兩正方形面積之和等於以它的斜邊為邊長所作的正方形的面積)
在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。
注意:電視機有多少英吋,指的是電視螢幕對角線的長度。
勾股數1.勾股定理的逆定理:若三角形的三邊長a，b，c滿足a2 +b2=c2，則該三角形是直角三角形。
在abc中, a，b，c為三邊長,其中 c為最大邊,
若a2 +b2=c2,則abc為直角三角形；
若a2 +b2>c2 ,則abc為銳角三角形；
若a2 +b22.勾股數:滿足a2 +b2=c2 的三個正整數(即能構成乙個直角三角形三邊的一組正整數)，稱為勾股數(勾股數是正整數)。
規律:一組能構成直角三角形的三邊的數,同時擴大或縮小同一倍數(即同乘以或除以同乙個正數),仍能夠成直角三角形。
一組勾股數的倍數不一定是勾股數,因為其倍數可能是小數,只有整數倍數才仍是勾股數。
常用勾股數:3,4,5(三四五) 9,12,15(3,4,5的三倍) 5,12,13(5.12記一生)
8,15,17(八月十五在一起) 6,8,10(3,4,5的兩倍) 7,24,25(企鵝是二百五)
勾股數須知:連續的勾股數只有3,4,5； 連續的偶數勾股數只有6,8,10。
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三邊長a、b、c滿足，那麼這個三角形是直角三角形。
根據勾股定理逆定理判斷乙個三角形是否為直角三角形的步驟：
(1)確定最大邊；
(2)算出最大邊的平方，另兩邊的平方和；
(3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和，如果相等則此三角形是直角三角形。不要盲目比較其中任意一邊平方與另兩邊的平方和的關係。
人教版版七年級數學上冊知識點總結
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