2、有理數的概念及分類
整數和分數統稱為有理數。有理數的分類如下:(1) 按定義分類:(2) 按性質符號分類
3、數軸
標有原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸。
數軸有三要素:原點、正方向、單位長度。
4、相反數
如果兩個數只有符號不同,那麼其中乙個數就叫另乙個數的相反數。0的相反數是0,互為相反的兩個數,在數軸上位於原點的兩則,並且與原點的距離相等。
概念剖析:(1)在數軸上離某點的距離等於的點有兩個。
(2)如果數和數互為相反數,則+=0;或;
(3)求乙個數的相反數,只要在這個數的前面加上「—」即可;例如的相反數是;
5、絕對值
數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值。
(1)絕對值的幾何意義:乙個數的絕對值就是數軸上表示該數的點與原點的距離。
(2)絕對值的代數意義:乙個正數的絕對值是它本身;0的絕對值是0;乙個負數的絕對值是它的相反數,可用字母a表示如下:
(3)兩個負數比較大小,絕對值大的反而小。
概念剖析:①「乙個數的絕對值就是數軸上表示該數的點與原點的距離」,而距離是非負,也就是說任何
乙個數的絕對值都是非負數,即。
互為相反數的兩個數離原點的距離相等,也就是說互為相反數的兩個數絕對值相等。
二、有理數的運算
1、有理數的加法
2、有理數的減法:減去乙個數等於加上這個數的相反數。
3、有理數的乘法
倒數的定義:乘積是1的兩個有理數互為倒數,即ab=1,那麼a和b互為倒數;倒數也可以看成是把分子分母的位置顛倒過來。 注意:0沒有倒數。
4、有理數的除法:除以乙個數,等於乘上這個數的倒數,0不能做除數。
5、有理數的乘方
(1)有理數的乘方:求幾個相同因數a的積的運算叫做乘方,乘方的結果叫做冪。
(2)正數的任何次方都是正數,負數的偶數次方是正數,負數的奇數次方是負數,0的任何非0次冪都是0,1的任何非0次冪都是1,偶數次冪是1、奇數次冪是;
概念剖析:①「」 所表示的意義是n個a相乘,不是n乘以a;
②。因為表示個相乘,而表示個的相反數;
③任何數的偶次冪都得非負數,即。
知識視窗:所有的奇數可以表示為或;所有的偶數可以表示為。
6、有理數的混合運算
7、科學記數法
(1)把乙個大於10的數記成的形式,其中是整數字只有一位的數,這種記數方法叫做科學記數法。
(2)與實際完全符合的數叫做準確數,與準確數接近的數叫做近似數。一般地,乙個近似數,四捨五入到哪一位,就說這個近似數精確到哪一位。
(3)乙個數,從左邊第乙個不是0的數字起,到精確到的數字止(最末尾一位),所得的數字,叫做這個數的有效數字。
第二章:整式的加減
1單項式
由數與字母的積組成的代數式叫做單項式,其中數字因數叫做單項式的係數,所有字母因數的指數之和叫做單項式的次數。單獨的乙個數或字母也叫做單項式。
2多項式
幾個多項式的和叫做多項式,其中、每個單項式都叫做多項式的項,不含字母的項叫做常數項,次數最高項的次數叫做該多項式的次數,每個單項式的係數都是多項式的係數;如果乙個多項式有項,且次數為,則我們稱該多項式為次項式。
二、代數式的計算
1、同類項
所含字母相同,並且相同字母的指數也相同的項,叫做同類項,常數項也是同類項。
2、合併同類項
把多項式中的同類項合併成一項叫做合併同類項,不是同類項不能合併。
合併同類項法則:(1)係數相加,所得結果作為係數;(2)字母和字母的指數不變。
3、去括號
去括號法則:(1)括號前是「+」號,把括號和它前面的「+」號去掉後,原括號裡各項符號都不改變;(2)括號前是「 – 」號,把括號和它前面的「 – 」號去掉後,原括號裡各項的符號都要改變。
4、整式的加減:整式的加減實質上就是合併同類項
第三章:一元一次方程
一、方程的有關概念
在乙個方程中,只含有乙個未知數,並且未知數的指數是1,係數不為0,這樣的方程叫一元一次方程。
2、等式的基本性質
(1)等式兩邊同時加上(或減去)同乙個數或代數式,所得結果仍是等式。若,則或。
(2)等式兩邊同時乘以(或除以)同乙個數(除數不能為0),所得結果仍是等式。若,則或;
二、解方程
1、解方程及解方程的解的含義
求得方程的解的過程,叫做解方程。使方程的左、右兩邊的值相等的未知數的值,叫做方程的解。
3、解一元一次方程的步驟
(1)去分母:注意每一項都要乘分母的最小公倍數,分子是乙個整體的時候用括號
(2)去括號:注意括號外面的符號,括號外的係數要乘上括號內的每一項;
(3)移項:項放到等號另外一邊時,注意變號;
(4)合併同類項; (5)係數化為1;
二、列方程初步(列代數式)
路程問題:路程=時間×速度速度=路程÷時間時間=路程÷速度
平均速度=總路程÷總時間
輪船航行問題:順水航行的速度=靜水速度+水流速度
逆水航行的速度=靜水速度—水流速度
工程問題:工作量=工作時間×工作效率工作效率=工作總量÷工作時間
工作時間=工作總量÷工作效率
**問題:總價=單價×數量單價=總價÷數量數量=總價÷單價
利潤問題:利潤=售價—成本售價=利潤+成本成本=售價—利潤
數字問題:表示數字的方法:
(其中、、、、表示個位、十位、百位、千位萬位的數字)。
面積問題:記住特殊圖形的面積公式,非特殊圖形的面積可用「面積分割補法」。
第四章:幾何圖形初步
一幾何圖形
從實物中抽象出的各種圖形統稱為幾何圖形。幾何圖形可分為立體圖形和平面圖形。
二、 點、線、面、體
(1)點動成線、線動成面、面動成體;
(2)體是由麵組成、面與面相交成線、線與線相交成點;
二、線段、射線、直線
1、線段、射線、直線的表示方法
(1)線段的表示方法有兩種:一是用兩個大寫字母,二是用乙個小寫的英文本母。
(2)射線的表示方法一種:用端點和射線上的另乙個點來表示,端點字母要寫在前面。
(3)直線的表示方法有兩種:一是用直線上的兩個點來表示,二是用乙個小寫的英文本母來表示。
線段、射線、直線的聯絡:射線和線段都可以看成是直線的一部分。
3、直線性質:過兩點有且只有一條直線。簡稱兩點確定一條直線。
4、線段的比較(1)疊合法;(2)度量法。
5、線段性質:「兩點之間,線段最短」。連線兩點的線段的長度,叫做這兩點的距離。
6、線段的中點:如果線段上有一點,把線段分成相等的兩條線段,這個點叫這條線段的中點。
若c是線段ab的中點,則:ac=bc=ab或ab=2ac=2bc。
二、角(1)角可以看成是由兩條有共同端點的射線組成的圖形。兩條射線叫角的邊,共同的端點叫角的頂點。
(2)角還可以看成是一條射線繞著他的端點旋轉所成的圖形。
2、角的表示方法:角用「∠」符號表示
(1)分別用兩條邊上的兩個點和頂點來表示。(頂點必須在中間)
(2)在角的內部寫上阿拉伯數字,然後用這個阿拉伯數字來表示角。
(3)在角的內部寫上小寫的希臘字母,然後用這個希臘字母來表示角。
(4)直接用乙個大寫英文本母來表示。(當頂點只有乙個角時才可以用該方法)
3、角的度量:會用量角器來度量角的大小。
4、角的單位:角的單位有度、分、秒,用°、′、″表示,角的單位是60進製與時間單位是類似的。度、分、秒的換算:1°=60′,1′=60″,1°=3600″。
5、銳角、直角、鈍角、平角、周角的概念和大小
(1)平角:角的兩邊成一條直線時,這個角叫平角。
(2)周角:角的一邊旋轉一周,與另一邊重合時,這個角叫周角。
(3)0°《銳角<90°,直角=90°,90°《鈍角<180°,平角=180°,周角=360°。
6、角的平分線
從角的頂點出發將乙個角分成兩個相等的角的射線叫角的平分線。
若bd是∠abc的平分線,則有:∠abd=∠cbd=∠abc;∠abc=2∠abd=2∠cbd
7、角的計算。兩個的和為90度的角互為餘角,同角或等角的餘角相等。兩個的和為180度的角互為補角,同角或等角的補角相等。
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