課時作業（四）
一、選擇題
1．若等差數列的公差為d，則是( )
a．公差為d的等差數列
b．公差為3d的等差數列
c．非等差數列
d．無法確定
【解析】 設bn＝3an，則bn＋1－bn＝3an＋1－3an＝3(an＋1－an)＝3d.
【答案】 b
2．(2013·德州高二檢測)如果等差數列中，a3＋a4＋a5＝12，那麼a1＋a2＋…＋a7＝( )
a．14 b．21 c．28 d．35
【解析】 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.
又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28，故選c.
【答案】 c
3．(2013·哈爾濱高二檢測)等差數列首項a1＝1，公差d＝3，當an＝298時，序號n等於( )
a．96 b．99c．100 d．101
【解析】 由已知a1＝1，d＝3得an＝1＋3(n－1)＝3n－2.又an＝298.∴298＝3n－2，解得n＝100，故選c.
【答案】 c
4．a＝，b＝，則a、b的等差中項為( )
abcd.
【解析】 ＝
＝＝.【答案】 a
5．數列滿足3＋an＝an＋1(n∈n＋)且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
a．－2 bc．2 d.
【解析】 由已知可得是等差數列，公差d＝3，
∴a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a6＋9d＝36，
∴log6(a5＋a7＋a9)＝2.
【答案】 c
二、填空題
6．在a和b(a≠b)兩個數之間插入n個數，使它們與a、b組成等差數列，則該數列的公差為________．
【解析】 b＝a＋(n＋2－1)d，則d＝.
【答案】
7．在等差數列中，若a3－a4＋a5－a6＋a7＝100，則a5
【解析】 a3＋a7＝a4＋a6，
則a3－a4＋a5－a6＋a7＝(a3＋a7)－(a4＋a6)＋a5
＝a5＝100.
【答案】 100
8．《九章算術》「竹九節」問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3公升，下面3節的容積共4公升，則第5節的容積為________公升．
【解析】 設所構成的等差數列為，則
由a7＋a8＋a9＝4得3a8＝4，∴a8＝.
由a1＋a2＋a3＋a4＝3得2(a1＋a4)＝3，
∴a1＋a4＝.
∴(a8－7d)＋(a8－4d)＝得d＝.
∴a5＝a8－3d＝－3×＝.
【答案】
三、解答題
9．若三個數a－4，a＋2，26－2a，適當排列後構成遞增等差數列，求a的值和相應的數列．
【解】 當a－4是等差中項時，2(a－4)＝(a＋2)＋(26－2a)，
解得a＝12，相應的數列為：2，8，14；
當a＋2是等差中項時，2(a＋2)＝(a－4)＋(26－2a)，
解得a＝6，相應的數列為：2，8，14；
當26－2a是等差中項時，2(26－2a)＝(a－4)＋(a＋2)，
解得a＝9，相應的數列為：5，8，11.
10．已知f(x)＝x2－2x－3，等差數列中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)，求：
(1)x的值；
(2)通項an.
【解】 (1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，
a3＝x2－2x－3，又因為為等差數列，
所以2a2＝a1＋a3.
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3.
解得x＝0或x＝3.
(2)當x＝0時，a1＝0，d＝a2－a1＝－，
此時an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)；
當x＝3時，a1＝－3，d＝a2－a1＝，
此時an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)．
11．某產品按質量分10個檔次，生產最低檔產品的利潤是8元/件，每提高乙個檔次，利潤增加2元/件，但產量減少3件．在相同的時間內，最低檔次(設為第一檔次)的成品可生產60件，則在相同的時間內，生產第幾檔次的產品可獲得最大利潤？
【解】 設第n檔次產品的產量為an，第n檔次產品的利潤為bn，則an＝60－3(n－1)＝63－3n，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6(1≤n≤10，n∈n＋)．生產第n檔次產品可獲利f(n)＝anbn＝(63－3n)·(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864，所以當n＝9時，f(n)取得最大值864.
即生產第9檔次的產品可獲得最大利潤．
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