［教學過程］
一. 在《證明一》一章中，我們已經證明了有關平行線的一些結論，今天我們應用以前已經被證明的定理和下面的公理來證明有關三角形的一些結論。
公理：三邊對應相等的兩個三角形全等。（sss）
公理：兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。（sas）
公理：兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。（asa）
公理：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。
用上面的公理證明下面的推論：
推論：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（aas）
已知：在△abc和△def中，∠a=∠d，∠b=∠e，ac=df
求證：△abc≌△def
證明：∵∠a=∠d，∠b=∠e
∴∠c=∠f
在△abc和△def中，
∴△abc≌△def
二. 例題分析：
例1. 等腰三角形的底角為15°，腰長2a，求腰上的高。
如圖所示，在△abc中，已知ab=ac=2a，∠abc=∠acb=15°，cd是腰ab上的高，求cd的長。
解：∵∠abc=∠acb=15°，
∴∠dac=∠abc+∠acb=15°+15°=30°。
（在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半）。
例2. 已知：矩形abcd，對角線ac，bd相交於點o，∠aob=60°，你能由此驗證「rt△中30°角所對的直角邊是斜邊的一半」這一定理嗎？
解：三. 1. 等腰三角形的性質：
（1）等腰三角形的兩個底角相等。（簡稱為「等邊對等角」）
（2）等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合（等腰三角形的「三線合一」）
（3）等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°。
2. 你能利用我們學過的公理和定理證明這些結論嗎？
已知：如圖所示，在△abc中，ab=ac，求證：∠b=∠c
證法一：取bc的中點d，鏈結ad。
證法二：作∠bac的平分線ad交bc於d。
（1）「等邊對等角」
（2）等腰三角形的「三線合一」
（3）等邊三角形的每個角都相等，並且每個角都等於60°。
四. 例1. 證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。
已知：如圖所示，△abc中，ab=ac，bd、ce分別平分∠abc和∠acb
求證：bd=ce
證明：等腰三角形兩腰上的中線相等。
證明：等腰三角形兩腰上的高相等。
五. （1）前面已經證明了，等腰三角形的兩個底角相等，反過來，有兩個底角相等的三角形是等腰三角形嗎？
已知：如圖所示，在△abc中，∠b=∠c
求證：ab=ac
證法一：過a點作ad⊥bc。
證法二：作∠bac的平分線ad交bc於d
（1）「等角對等邊」
（2）每個角都相等的三角形是等邊三角形。
六. 1. 乙個等腰三角形滿足什麼條件時便成為等邊三角形？
2. 你認為有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結論嗎？
定理：有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形。
2. 已知：在△abc中，∠acb=90°，∠a=30°
證明：如圖所示，在△abc中，∠acb=90°，∠a=30°，則∠b=60°。
延長bc至d，使cd=bc，
連線ad（如圖所示）
∵ac=ac
∴ab=ad（全等三角形的對應邊相等）
∴△abd是等邊三角形（有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形）
定理：直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
【模擬試題】
1. 證明：三個角都相等的三角形是等邊三角形。
2. 已知：如圖所示，△abc是等邊三角形，de//bc，分別交ab、ac於點d、e。
求證：△ade是等邊三角形。
3. 房梁的一部分如圖所示，其中bc⊥ac，∠a=30°，ab=7.4m，點d是ab的中點，且，垂足為e，求ac，de的長。
4. 已知： 求證：
5. 已知：ab=dc，ac=db 求證：
6. 已知：如圖所示，△abc中，ab=ac，d、e為bc上兩點，且ad=ae。
求證：bd=ce。
7. 如圖所示，在△abd中，c是bd上的一點，且。
（1）求證：△abd是等腰三角形 （2）求的度數。
8. 如圖所示，△abc中，ab=bd=dc，，則
9. 已知：如圖所示，ab=ac，ob=oc，求證：ad=ae。
10. 如圖所示，在等邊△abc中，，且ae=ad，則
【試題答案】
1. 證：
2. 解：
3. 解：
4. 證：
5. 證：鏈結bc
6. 證：
7. 證：
8. 80°；60°
9. 證：鏈結bc
10. 15°
北師大版數學九年級上冊第一章證明二 2
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北師大版數學九年級上冊第一章證明二 1
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