北九上第一章證明（二）水平測試（b）
一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分．請選出每小題中乙個符合題意的正確選項，不選、多選、錯選，均不給分）
1.兩個直角三角形全等的條件是（ ）
（a）一銳角對應相等b）兩銳角對應相等；
（c）一條邊對應相等d）兩條邊對應相等.
2.到的三個頂點距離相等的點是的（ ）.
（a）三邊垂直平分線的交點b）三條角平分線的交點；
（c）三條高的交點d）三邊中線的交點.
3.如圖，由，，，得≌的根據是（ ）
（a）sas （b）asac）aasd）sss
4.中，，平分交邊於點，，則的度數為（ ）
（a）35° （b）40c）70d）110°
5.下列兩個三角形中，一定全等的是（ ）
（a）有乙個角是40°，腰相等的兩個等腰三角形；
（b）兩個等邊三角形；
（c）有乙個角是100°，底相等的兩個等腰三角形；
（d）有一條邊相等，有乙個內角相等的兩個等腰三角形.
6.適合條件= =的三角形一定是（ ）
（a）銳角三角形； （b）鈍角三角形； （c）直角三角形； （d）任意三角形.
7.有一塊邊長為24公尺的正方形綠地，如圖所示，在綠地旁邊處有健身器材，由於居住在處的居民踐踏了綠地，小明想在處樹立乙個標牌「少走▇公尺，踏之何忍？」請你計算後幫小明在標牌的「▇」填上適當的數字是（ ）.
（a）3公尺 （b）4公尺 （c）5公尺 （d）6公尺
8. 乙個三角形如果有兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那麼這個三角形是（ ）.
（a）等腰三角形; （b）等邊三角形; （c）直角三角形; （d）等腰直角三角形.
9.如圖，已知平分，點、分別在邊、上，如果新增乙個條件，即可推出=，那麼該條件不可以是（ ）
(ab)
(cd) =
10.如圖，於，於，下列條件：①是的平分線；②；③；④=.其中能夠證明≌的條件的個數有（ ）
(a)1個 (b)2個 (c)3個 (d)4個
二、填空題(本大題有10小題，每小題3分，共30分．將答案填在題中橫線上)
11.在中，邊、、的垂直平分線相交於，則、、的大小關係是
12.如果等腰三角形的乙個角是80°，那麼頂角是度.
13.若等腰三角形一腰上的高等於腰長的一半，則這個等腰三角形的底角為 .
14. 中，，平分，交於點,若，則到的距離是 .
15.如圖，＝，需要補充乙個直接條件才能使≌．甲、乙、丙、丁四位同學填寫的條件分別是：甲「」；乙「」；丙「」；丁「＝」．那麼這四位同學填寫錯誤的是
16. 用反證法證明 「三角形中至少有乙個角不小於60°時，假設則與矛盾，所以原命題正確．
17.補全「求作的平分線」的作法：①在和上分別擷取、，使=.②分別以、為圓心，以為半徑畫弧，兩弧在內交於點.③作射線即為的平分線.
18.一輪船以每小時20海浬的速度沿正東方向航行.上午8時，該船在處測得某燈塔位於它的北偏東30°的處(如圖)，上午9時行到處，測得燈塔恰好在它的正北方向，此時它與燈塔的距離是海浬(結果保留根號).
19.在中，＝90°，，平分交於，於，若，則的周長是 .
20.如圖是2023年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，它是由4個相同的直角三角形拼和而成.若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的和是 .
三、解答題(本大題有6小題，共60分．解答需寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程)
21.（8分）已知：如圖，=，.求證：.
22.（8分）如圖，，，請你寫乙個能用全部已知條件才能推出的結論，並證明你的結論.
23.（10分）已知：如圖，在等邊三角形的邊上取中點，的延長線上取一點，使 ＝．求證：＝.
24.（10分）已知：如圖，中，，.
(1)用直尺和圓規作的垂直平分線，分別交、於點、(保留作圖痕跡，不寫作法).
(2)猜想與之間有何數量關係，並證明你的猜想.
25. （本題滿分12分）閱讀下面的題目及分析過程，並按要求進行證明．
已知：如圖，是的中點，點在上，且．
求證：.
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同乙個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證，必須新增適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．
現給出如下三種新增輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進行證明．
26．（12分）已知：如圖，點為線段上一點，、是等邊三角形，可以說明：≌，從而得到結論：．現要求：
（1）將繞點按逆時針方向旋轉180°，使點落在上．請對照原題圖在下圖中畫出符合要求的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）在（1）所得到的圖形中，結論「」是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
（3）在（1）所得到的圖形中，設的延長線與相交於點，請你判斷△abd與四邊形的形狀，並說明你的結論的正確性．
參***
一、daabcddcbd
二、11.； 12. 或； 13.
； 14.7； 15.乙；16.
三角形的三個內角都小於，三角形的內角和是；17.大於的長為半徑；18. ；19.
10；20. 10.
三、21由=，，知≌，因此有.又（對頂角），=，所以≌，所以.又，所以，即.
22.∵ ∠obc=∠ocb，∴ ob=oc.又∵ ∠aob=∠aoc，oa=oa， ∴ △aob≌△aoc，∴ab=ac.
23. 是正三角形的邊的中線得，平分，.由知∠cde ＝∠e .由∠ace ＝ 120°，得∠cde＋∠e＝60°，所以∠cde ＝∠e＝300，則有bd ＝ de．
24.（1）作圖略；（2）連線am，則bm=am.∵ ab=ac，∠bac=120°，∴ ∠b=∠c=30°於是 ∠mab=∠b=30°，∠mac=90°.
∴ 故，即cm=2bm.
25.方法一：作bf⊥de於點f，cg⊥de於點g.
∴ ∠f=∠cge=90°.又∵ ∠bef=∠ceg，be=ce，∴ △bfe≌△cge.∴ bf=cg.
在△abf和△dcg中，∵ ∠f=∠dgc=90°，∠bae=∠cde，bf=cg，∴ △abf≌△dcg.∴ ab=cd.
方法二：作cf∥ab，交de的延長線於點f.∴ ∠f=∠bae.
又∵ ∠abe=∠d，∴ ∠f=∠d.∴ cf=cd.∵ ∠f=∠bae，∠aeb=∠fec，be=ce，∴ △abe≌△fce.
∴ ab=cf. ∴ ab=cd.
方法三：延長de至點f，使ef=de.又∵ be=ce，∠bef=∠ced，∴ △bef≌△ced.
∴ bf=cd，∠d =∠f. 又∵ ∠bae=∠d，∴ ∠bae=∠f. ∴ ab=bf.
∴ ab=cd.
26.（1）作圖略.
（2）結論「an=bm」還成立.
證明：∵ cn=cb，∠acn=∠mcb=60°，ca=cm，∴ △acn≌△mcb.∴ an=bm.
（3）△abd是等邊三角形，四邊形mdnc是平行四邊形.
證明： ∵ ∠dab =∠mac=60°，∠dba=60°
∴ ∠adb=60°.∴ △abd是等邊三角形.
adb =∠amc=60°，∴ nd∥cm.
∵ ∠adb =∠bnc=60°，∴ md∥cn.
∴ 四邊形mdnc是平行四邊形.
北師大版數學九年級上冊第一章證明二 2
一.教學過程 1.定理 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。已知 直線mn ab於c，ac bc，p在mn上。求證 pa pb 分析 要證明pa pb，可證明包含這兩條線段的兩個三角形全等。證明 略。2.練習 1 已知 ab是線段cd的垂直平分線，e在ab上，若ec 7cm，則ed若 ...
北師大版數學九年級上冊第一章證明二 1
教學過程 一.在 證明一 一章中，我們已經證明了有關平行線的一些結論，今天我們應用以前已經被證明的定理和下面的公理來證明有關三角形的一些結論。公理 三邊對應相等的兩個三角形全等。sss 公理 兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。sas 公理 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。asa 公理 全等...
北師大版數學九年級上冊 第一章 證明二 1
教學過程 一.在 證明一 一章中，我們已經證明了有關平行線的一些結論，今天我們應用以前已經被證明的定理和下面的公理來證明有關三角形的一些結論。公理 三邊對應相等的兩個三角形全等。sss 公理 兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。sas 公理 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。asa 公理 全等...