第一講全等三角形的性質和判定
知識梳理
1、兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等（sas）；
2、兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（asa）；
3、兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（aas）；
4三邊對應相等的兩個三角形全等（sss）；
5、全等三角形的對應邊相等,對應角相等。
6、等腰三角形性質定理等邊對等角）；
7、推論（三線合一
8等邊三角形判定定理
典例精講
例1.如圖，已知∠d =∠c，∠a =∠b，且ae = bf。求證：ad = bc。
例2．如圖，在△abc中，ab = ac，ad⊥ac∠bac = 100°。
求∠1、∠3、∠b的度數。
例3．如圖，在△abc中，d為ac上一點，並且ab = ad，db = dc，若∠c = 29°，求∠a。
即學即練
1． 填空：
（1）如圖，在△abc中，ab = ac，點d在ac上，且bd = bc = ad。
請找出所有的等腰三角形
（2）等腰三角形的頂角為50°，則它的底角為 。
（3）等腰三角形的乙個角為40°，則另兩個角為 。
（4）等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°。
2． 如圖，在△abc中，ab = ac，d是bc邊上的中點，且de⊥ab，df⊥ac。
求證：∠1 =∠2。
鞏固與提高
1．在等腰三角形中頂角為40°時底角等於 ，乙個底角為50°，則頂角等於 。
2.等腰三角形的兩邊分別是7 cm和3 cm，則周長為
3.如右圖，d在ac上，且ab=bd=dc，∠c=40°，則∠a= ，
∠abd= 。
3題圖4題圖
4、在△abc中，ab=ac，d是ab上一點，de⊥bc，e是垂足，ed的延長線交ca的延長線於點f，求證：ad=af.
第二講等腰三角形的性質和判定
一．知識梳理
1、等腰三角形兩個底角的平分線相等；
2、等腰三角形腰上的高相等；
3、等腰三角形腰上的中線相等；
4、兩個角相等的三角形是等腰三角形。（等角對等邊）
5、推理論證：等腰三角形腰上的中線相等；（畫圖、寫出已知、求證、證明過程）
二、典例精講
如圖，中，bd⊥ac於d，ce⊥ab於e，bd = ce。求證：是等腰三角形。
三、即學即練
1、 如圖，在△abc中，ab = ac，de∥bc，求證：△ade是等腰三角形。
2、 如圖，e是△abc內的一點，ab = ac，連線ae、be、ce，且be = ce，延長ae，交bc邊於點d。求證：ad⊥bc。
四、鞏固與提高
1、 如圖，∠a =∠b，ce∥da，ce交ab於e。求證：ce = cb。
2、 把下列命題用反證法證明時的第一步寫出來。
a) 三角形中必有乙個內角不少於60度；
b) 乙個三角形中不能有兩個角是鈍角；
c) 垂直於同一條直線的兩條直線平行。
3、如圖，在中，∠abc的平分線交ac於點d，de∥bc。求證：△ebd是等腰三角形。
4、用反證法證明：乙個三角形中不能有兩個直角。
第三講等邊三角形的判定與性質
一、知識梳理
1、等邊三角形的判定
1） 三條邊都相等的三角形是等邊三角形 。
2） 三個角都相等的三角形是等邊三角形 。
3） 有乙個角等於60的等腰三角形是等邊三角形。
2、等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質，除此之外，它還具有每個內角都是60°的特殊性質。
3、在直角三角形中，如果乙個銳角等於30，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
二、典例精講
1、 已知：如圖，△abc是等邊三角形，de∥bc，交ab、ac於d、e。
求證：△ade 是等邊三角形。
2、如圖，△abc是等邊三角形，bd = ce，∠1 =∠2。求證：△ade是等邊三角形。
3、如圖，在rt中，∠b = 30°，bd = ad，bd = 12，求dc的長。
三、即學即練
1、 填空：
（1）如圖1，bc = ac，若則△abc是等邊三角形。
（2）如圖2，ab = ac，bc⊥ad，bd = 4，若ab = ，則△abc是等邊三角形。
（3）如圖3，在rt中，∠b = 30°，ac = 6cm，則ab = ；若ab = 7，則ac = 。
圖1圖2圖3
2、如右圖，已知△abc和△bde都是等邊三角形，求證：ae=cd。
鞏固與提高
1、填空：
（1）如圖1，ab = ac，ad是△abc的一條中線，ab = 5，若bd則△abc是等邊三角形。
（2）如圖2，∠bac＝120°，ab＝ac，ab＝14，則ad = 。
圖1圖2
2、已知：中，，，，ab = 40，
求db的長。
第四講直角三角形（一）
一．知識梳理
1、直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。
2、如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形。
3、在兩個命題中，如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題。
4、如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中乙個定理稱為另乙個定理的逆定理。
二、典例剖析
1、如圖，ba⊥da於a，ad = 12，dc = 9，ca = 15，求證：ba∥dc。
2、若直角三角形的三條邊長分別是6，8，a，則a
3、已知：如圖，△abc中，cd⊥ab於d，ac=4，bc=3，db =。
（1）求dc的長；（2）求ad的長；（3）求ab的長；
（4）求證：△abc是直角三角形.
三、即學即練
1、 填空：
（1）直角三角形的兩直角邊為9、12，則斜邊為 ；直角三角形的斜邊為13，其中一條直角邊為5，則另一條直角邊為 。
（2）如果乙個三角形的三邊分別是6、10、8，則這個三角形是三角形。
2、說出下列命題的逆命題，並判斷每對命題的真假。
1）初三（6）班有62位同學； 2）等邊對等角；
3）對頂角相等4）平行四邊形的兩組對邊相等；
5）正方形的四條邊都相等；
3、某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開闢為生物園，如圖5所示，∠acb＝90°，ac＝80公尺，bc＝60公尺，若線段cd是一條小渠，且d點在邊ab上，已知水渠的造價為10元/公尺，問d點在距a點多遠處時，水渠的造價最低？最低造價是多少？
四、鞏固與提高
1、 找出下列定理有哪些存在逆定理，並把它找出來。
（1）矩形是平行四邊形 。（2）內錯角相等，兩直線平行。
（3）如果，則。（4）全等三角形對應角相等。
（5）對頂角相等
2、如圖，ab⊥bc，dc⊥bc，e是bc上一點，∠bae=∠dec=60°，ab=3，ce=4，則ad等於
3、如圖，為修鐵路需鑿通隧道ac，測得∠a=50°，∠b=40°，ab=5 km,bc=4 km，若每天鑿隧道0.3 km，問幾天才能把隧道鑿通？
直角三角形（二）
一．知識梳理
1、一般三角形全等判定方法有
2、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。（「斜邊、直角邊」或「hl」）
二、典例剖析
1、在rt△abc中，∠c = 90°，且de⊥ab，cd = ed，求證：ad是∠bac的角平分線。
2、如圖，∠acb = ∠adb = 90°，ac = ad，e是ab上的一點。求證：ce = de。
3、在△abc≌△a'b'c'中，cd，c'd'分別分別是高，並且ac＝a'c'，cd=c'd'．∠acb=∠a'c'b'．
求證：△abc≌△a'b'c'．
三、即學即練
1、填空：.如下圖，rt△abc和rt△def，∠c=∠f=90°。
（1）若∠a=∠d，bc=ef，則rt△abc≌rt△def的依據是
（2）若∠a=∠d，ac=df，則rt△abc≌rt△def的依據是
（3）若∠a=∠d，ab=de，則rt△abc≌rt△def的依據是
（4）若ac=df，ab=de，則rt△abc≌rt△def的依據是
（5）若ac=df，cb=fe，則rt△abc≌rt△def的依據是
2、如下圖，cd⊥ad，cb⊥ab，ab=ad，求證：cd=cb。
四、鞏固與提高
1、 如上右圖，在rt△abc和rt△dcb中，ab=dc，∠a=∠d=90°，ac與bd交於點o，則有其判定依據是還有其判定依據是
2、如圖，∠b =∠e = 90°，ac = df，bf = ec。求證：ba = ed。
3、如圖，ad是∠bac的角平分線，de⊥ab，df⊥ac，bd = cd，ab = ac，求證：eb = fc。
4如圖，已知be⊥ac於e，cf⊥ab於f，be、cf相交於點d，若bd=cd．求證：ad平分∠bac.
第五講線段的垂直平分線
一．知識梳理
1、線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。
北師大版九年級數學上冊第一章複習題
第一單元複習題 一 選擇題 1 已知等腰三角形的乙個角為75 則其頂角為 a.36 b.45 c.60 d.72 2 等腰直角三角形的斜邊長為a，則其斜邊上的高為 a.b.c.d.3 如圖，abc中，ab bd ac，ad cd，則 adb的度數是 a.36 b.45 c.60 d.72 第3題圖第...
北師大版九年級數學上冊第一章 證明 二 單元測試卷 有答案
第一章證明 二 單元檢測題 班級姓名座號評價等級 一 選擇題 1 等腰三角形周長為，其中一邊長為，則該等腰三角形的底邊長為 b abc 或d 2 如圖1，p在ab上，ad ac，bd bc，則圖中全等三角形的對數有 c a 1b 2c 3d 4 3 下列命題的逆命題是真命題的是 d a 對頂角相等b...
北師大版九年級數學上冊第一章測試題及答案證明 二 B
北九上第一章證明 二 水平測試 b 一 選擇題 本大題有10小題，每小題3分，共30分 請選出每小題中乙個符合題意的正確選項，不選 多選 錯選，均不給分 1.兩個直角三角形全等的條件是 a 一銳角對應相等b 兩銳角對應相等 c 一條邊對應相等d 兩條邊對應相等.2.到的三個頂點距離相等的點是的 a ...