章末質量評估(一)
(時間：100分鐘滿分：120分)
一、選擇題(本題共10小題，每小題5分，共50分)
1．分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的 ( )．
a．充分條件 b．必要條件
c．充要條件 d．等價條件
答案 a
2．在下列各函式中，最小值等於2的函式是 ( )．
a．y＝x＋ b．y＝cos x＋(0＜x＜)
c．y＝ d．y＝ex＋－2
解析 x＜0時，y＝x＋≤－2，故a錯；∵0＜x＜，∴0＜cos x＜1，∴y＝cos x＋≥2中等號不成立，故b錯；∵≥，∴y＝＝＋≥2中等號也取不到，故c錯，∴選d.
答案 d
3．命題p(n)滿足：若n＝k(k∈n＋)成立，則n＝k＋1成立，下面說法正確
的是a．p(6)成立則p(5)成立
b．p(6)成立則p(4)成立
c．p(4)成立則p(6)成立
d．對所有正整數n，p(n)都成立
解析由題意知，p(4)成立，則p(5)成立，若p(5)成立，則p(6)成立．所以p(4)成立，則p(6)成立．
答案 c
4．若定義在r上的二次函式f(x)＝ax2－4ax＋b在區間[0,2]上是遞增函式，
且f(m)≥f(0)，則實數m的取值範圍是 ( )．
a．0≤m≤4 b．0≤m≤2
c．m≤0 d．m≤0或m≥4
解析 ∵二次函式f(x)＝ax2－4ax＋b的對稱軸為x＝2，又f(x)在[0,2]上是遞增函式，∴a<0，∵f(m)≥f(0)，∴0≤m≤4.
答案 a
5．函式f(x)對任意正整數a、b滿足條件f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，
＋＋＋…＋的值是
a．2 008 b．2 007
c．2 006 d．2 005
答案 a
6．某個命題與正整數n有關，如果當n＝k(k∈n＋)時命題成立，那麼可推得當
n＝k＋1時命題也成立．現已知當n＝5時該命題不成立，那麼可推得( )．
a．當n＝6時該命題不成立
b．當n＝6時該命題成立
c．當n＝4時該命題不成立
d．當n＝4時該命題成立
解析若當n＝k時命題成立，則當n＝k＋1時，命題成立，其等價命題為逆否命題，即「若當n＝k＋1時命題不成立，則當n＝k時命題不成立」．
答案 c
7．下列推理是歸納推理的是
a．a、b為定點，動點p滿足|pa|＋|pb|＝2a＞|ab|，得p的軌跡為橢圓
b．由a1＝1，an＝3n－1，求出s1，s2，s3，猜想出數列的前n項和sn的表示式
c．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜出橢圓＋＝1的面積s＝πab
d．科學家利用魚的沉浮原理製造潛艇
解析從s1，s2，s3猜想出數列的前n項和sn，是從特殊到一般的推理，所以b是歸納推理．
答案 b
8．用數學歸納法證明「2n>n2＋1對於n≥n0的自然數n都成立」時，第一
步證明中的起始值n0應取
a．2 b．3
c．5 d．6
解析當n取1、2、3、4時，2n>n2＋1不成立，當n＝5時，25＝32>52＋1＝26，第乙個能使2n>n2＋1的n值為5，故選c.
答案 c
9．已知f(x)＝x3＋x，x∈r，若a，b，c∈r，且a＋b＞0，b＋c＞0，c＋a
＞0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定
a．大於0 b．小於0
c．等於0 d．正負都有可能
解析 ∵f(x)為奇函式且為增函式，
又a＋b＞0，∴a＞－b，∴f(a)＞f(－b)，即f(a)＋f(b)＞0，同理f(a)＋f(c)＞0，f(b)＋f(c)＞0.
∴2(f(a)＋f(b)＋f(c))＞0.
答案 a
10．下列結論正確的是
a．當x＞0且x≠1時，lg x＋≥2
b．當x＞0時，＋≥2
c．當x≥2時，x＋的最小值為2
d．當0＜x≤2時，x－無最大值
解析選項a錯在lg x的正負不清；選項c錯在等號成立的條件不存在；根據函式f(x)＝x－的單調性，當x＝2時，f(x)取最大值，故選項d錯．
答案 b
二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分)
11．數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時，從n＝k到
n＝k＋1，左邊需增添的代數式是________．
解析當n＝k時，
左邊是共有2k＋1個連續自然數相加，
即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，
所以當n＝k＋1時，左邊是共有2k＋3個連續自然數相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．故左邊需增添的代數式是(2k＋2)＋(2k＋3)．
答案 (2k＋2)＋(2k＋3)
12．已知＝2，＝3，＝4，…，
若＝6 (a，b均為實數)，推測ab
解析由前面三個等式，推測被開方數的整數與分數的關係，發現規律．由三個等式知，整數和這個分數的分子相同，而分母是分子的平方減1，由此推測中，a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.
答案 6 35
13．已知x＞0，從不等式x＋≥2和x＋＝＋＋≥3啟發我們推廣為
x＋≥n＋1，則括號內應填寫的數是________．
答案 nn
14．蜜蜂被認為是自然界中最傑出的建築師， 單個蜂巢可以近似地看作是乙個正六邊形，如右圖為一組蜂巢的截面圖．其中第乙個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數，則用n表示的f(n
解析由於f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推測當n≥2時，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，
所以f(n)＝3n2－3n＋1.
答案 3n2－3n＋1
15．若點o在△abc內，則有結論s△obc·o＋s△oac·o＋s△oab·o＝0，
把命題模擬推廣到空間，若點o在四面體abcd內，則有結論
答案 vo bcd·o＋vo acd·o＋vo abd·o＋vo－abc·o＝0
16．觀察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根
據上述規律，第五個等式為________．
解析由前三個式子可以得出如下規律：每個式子等號的左邊是從1開始的連續正整數的立方和，且個數依次多1，等號的右邊是乙個正整數的平方，後乙個正整數依次比前乙個大3,4，….因此，第五個等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
三、解答題(本題共4小題，共40分)
17．(10分)正實數數列中，a1＝1，a2＝5，且成等差數列．證明數
列中有無窮多項為無理數．
證明由已知有：a＝1＋24(n－1)，從而an＝，取n－1＝242k－1，則an＝(k∈n＋)．
用反證法證明這些an都是無理數．
假設an＝為有理數，則an必為正整數，且an>24k，
故an－24k≥1，an＋24k>1，與(an－24k)(an＋24k)＝1矛盾，
所以an＝(k∈n＋)都是無理數，即數列中有無窮多項為無理數．
18．(10分)用數學歸納法證明
設n∈n＋，求證：f(n)＝32n＋2－8n－9是64的倍數，
證明當n＝1時，f(1)＝32×1＋2－8×1－9＝81－8－9＝64
此時命題成立
假設當n＝k時，f(k)＝32k＋2－8k－9是64的倍數
當n＝k＋1時，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9
＝32k＋2·9－8k－9－8
＝9(32k＋2－8k－9)＋64k＋64
＝9f(k)＋64(k＋1)
∵f(k)為64的倍數，64(k＋1)也為64的倍數
故當n＝k＋1時命題也成立．所以當n∈n＋時命題都成立．
19．(10分)請你把不等式「若a1，a2是正實數，則有＋≥a1＋a2」推廣
到一般情形，並證明你的結論．
解推廣的結論：
若a1，a2，…，an都是正數，
＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.
證明 ∵a1，a2，…，an都是正數
∴＋a2≥2a1； ＋a3≥2a2；
…＋an≥2an－1； ＋a1≥2an，
＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.
20．(10分)已知函式f(x)＝x2＋＋aln x(x＞0)，對任意兩個不相等的正數x1、
x2，證明：
當a≤0時，＞f.
證明由f(x)＝x2＋＋aln x，
得＝(x＋x)＋＋(ln x1＋ln x2)＝(x＋x)＋＋aln.
f＝2＋＋aln.
而(x＋x)＞[(x＋x)＋2x1x2]＝2①
又(x1＋x2)2＝(x＋x)＋2x1x2＞4x1x2，
∴＞.②
∵＜，∴ln＜ln.
∵a≤0，∴aln≥aln，③
由①②③，得
(x＋x)＋＋aln＞2＋＋aln，∴原不等式成立．
章末質量評估(二)
(時間：100分鐘滿分：120分)
一、選擇題(本題共10小題，每小題5分，共50分)
1．如果乙個函式的瞬時變化率處處為0，則這個函式的影象是 ( )．
a．圓 b．拋物線
c．橢圓 d．直線
解析函式的瞬時變化率處處為0，說明函式的導數為0，即函式是乙個常數函式，即y＝c(c為常數)，所以影象應為x軸或平行於x軸的直線．
答案 d
2．若對任意x∈r，f′(x)＝3x2，f(1)＝2，則f(x)等於 ( )．
a．x3－1 b．x3＋1
c．x3＋2 d．x3－2
解析 f′(x)＝3x2，∴f(x)＝x3＋c(c為常數)，
又∵f(1)＝2，∴c＝1，∴f(x)＝x3＋1.
答案 b
3．函式y＝(a＞0)在x＝x0處的導數為0，則x0等於 ( )．
a．a b．±a
c．－a d．a2
解析 y′＝′＝＝.由題意得＝0，即x－a2＝0，所以x0＝±a.
北師大版高中數學必修選修目錄
數學1 必修 第一章集合 1集合的含義與表示 2集合的基本關係 3集合的基本運算 閱讀材料康托與集合論 第二章函式 1生活中的變數關係 2對函式的進一步認識 3函式的單調性 4二次函式性質的再研究 5簡單的冪函式 閱讀材料函式概念的發展 課題學習個人所得稅的計算 第三章指數函式和對數函式 1正整數指...
高中數學選修2 3 1測試題
一 選擇題 1 已知，則方程所表示的不同的圓的個數有 3 4 2 243 4 2 143 4 2 143 4 2 9 2 桌球運動員10人，其中男女運動員各5人，從這10名運動員中選出4人進行男女混合雙打比賽，選法種數為 3 的展開式中的係數是 4 從標有1，2，3，9的9張紙片中任取2張，數字之積...
北師大版高中數學選修2 2第一章《推理與證明》全部教案
教案北師大版高中數學選修2 2第一章 推理與證明 全部教案張云 剛宜君縣高階中學張云剛 第一課時歸納推理 教學目標 1 通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理這種基本的分析問題法，認識歸納推理的基本方法與步驟，並把它們用於對問題的發現與解決中去。2.歸納推理是從特殊到一般的推理方法，通常歸納的個體...