平面幾何初步（直線與圓）
【學法導航】
解析幾何是高中數學的重要內容之一，各地區在這一部分的出題情況較為相似，一般兩道小題一道大題，分值約佔15%，即22分左右.具體分配為：直線和圓以及圓錐曲線的基礎知識兩個容易或中檔小題，機動靈活，考查雙基；解答題難度設定在中等或以上，一般都有較高的區分度，主要考查解析幾何的本質——「幾何圖形代數化與代數結果幾何化」以及分析問題解決問題的能力.
解析幾何的主要內容是高二中的直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與方程考查的重點：直線的傾斜角與斜率、點到直線的距離、兩條直線平行與垂直關係的判定、直線和圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關係；圓錐曲線的定義、標準方程、簡單的幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關係、曲線與方程、圓錐曲線的簡單應用等，其中以直線與圓錐曲線的位置關係最為重要。
【典例精析】
1.直線的基本問題：直線的方程幾種形式、直線的斜率、兩條直線平行與垂直的條件、兩直線交點、點到直線的距離。
例 1 已知與，若兩直線平行，則的值為 ．
解析： ．
點評：解決兩直線平行問題時要記住看看是不是重合．
易錯指導：不知道兩直線平行的條件、不注意檢驗兩直線是否重合是本題容易出錯的地方。
例2 經過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是
解析：圓心座標是，所求直線的斜率是，故所求的直線方程是，即
點評：本題考查解析幾何初步的基本知識，涉及到求一般方程下的圓心座標，兩直線垂直的條件，直線的點斜式方程，題目簡單，但交匯性很強，非常符合在知識網路的交匯處設計試題的命題原則，乙個小題就把解析幾何初步中直線和圓的基本知識考查的淋漓盡致
易錯指導：基礎知識不牢固，如把圓心座標求錯，不知道兩直線垂直的條件，或是運算變形不細心，都可能導致得出錯誤的結果
2.圓的基本問題：圓的標準方程和一般方程、兩圓位置關係.
例3 已知圓的方程為．設該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（ ）
a． b． c． d．
解析：圓心座標是，半徑是，圓心到點的距離為，根據題意最短弦和最長弦（即圓的直徑）垂直，故最短弦的長為，所以四邊形的面積為
點評：本題考查圓、平面圖形的面積等基礎知識，考查邏輯推理、運算求解等能力。解題的關鍵有二，一是通過推理知道兩條弦互相垂直並且有一條為圓的直徑，二是能根據根據面積分割的道理，推出這個四邊形的面積就是兩條對角線之積的一半。
本題是一道以分析問題解決問題的能力立意設計的試題。
易錯指導：邏輯思維能力欠缺，不能找到解題的關鍵點，或是運算能力欠缺，運算失誤，是本題不能解答或解答錯誤的主要原因
3.圓錐曲線的基本問題：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程及其性質，求簡單的曲線方程.
例4已知點p在拋物線y2 = 4x上，那麼點p到點q（2，－1）的距離與點p到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點p的座標為（ ）
a. （，－1b. （，1） c. （1，2d. （1，－2）
解析：定點在拋物線內部，由拋物線的定義，動點到拋物線焦點的距離等於它到準線的距離，問題轉化為當點到點和拋物線的準線距離之和最小時，求點的座標，顯然點是直線和拋物線的交點，解得這個點的座標是。
點評：本題考查拋物線的定義和數形結合解決問題的思想方法類似的題目在過去的高考中比較常見
易錯指導：不能通過草圖和簡單的計算確定點和拋物線的位置關係，不能將拋物線上的點到焦點的距離轉化為其到準線的距離，是解錯本題或不能解答本題的原因
例5已知圓．以圓與座標軸的交點分別作為雙曲線的乙個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為
解析： 圓和軸的交點是，和軸沒有交點。故只能是點為雙曲線的乙個頂點，即；點為雙曲線的乙個焦點，即。，所以所求雙曲線的標準方程為。
點評：本題考查圓和雙曲線的基礎知識，考查數形結合的數學思想。解題的關鍵是確定所求雙曲線的焦點和頂點座標
易錯指導：數形結合的思想意識薄弱，求錯圓與座標軸的交點座標，用錯雙曲線中的關係等，是不同出錯的主要問題
4.直線與圓錐曲線的位置關係
例6若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標準方程是（ ）
a． b．
cd．解析：設圓心座標為，則且.又，故，由得（圓心在第一象限、捨去）或，故所求圓的標準方程是。
點評：本題考查直線和圓的有關基礎知識，考查座標法的思想，考查運算能力。解題的關鍵是圓心座標
易錯指導：不能把直線與圓相切的幾何條件通過座標的思想轉化為代數條件，或是運算求解失誤等
例7 （過雙曲線的右頂點為a，右焦點為f。過點f平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交於點b，則△afb的面積為
解析：雙曲線右頂點，右焦點，雙曲線一條漸近線的斜率是，直線的方程是，與雙曲線方程聯立解得點的縱座標為，故△afb的面積為
點評：本題考查雙曲線的基礎知識和運算能力。
易錯指導：過右焦點和漸近線平行的直線和雙曲線只有乙個交點，如果寫錯漸近線的方程，就會解出兩個交點，不但增加了運算量，還使結果錯誤。
例8 在平面直角座標系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑的圓做圓，若過點，所作圓的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為
解析：過點作圓的兩切線互相垂直，如圖，這說明四邊形是乙個正方形，即圓心到點的距離等於圓的半徑的倍，即，故
點評：本題把橢圓方程、圓和圓的切線結合起來，考查橢圓的簡單幾何性質，體現了「在知識的網路交匯處設計試題」的原則，較全面地考查了解析幾何的基本知識。解題的突破口是將圓的兩條切線互相垂直轉化為乙個數量上的關係。
易錯指導：陷入圓的兩條切線互相垂直，不能通過數形結合的方法找到解題途徑等，是考生解錯本題的主要原因。
例9設，橢圓方程為，
拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，
與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經過橢圓的右焦點．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設分別是橢圓長軸的左、右端點，試**在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？並說明理由（不必具體求出這些點的座標）．
解析：（1）由得，
當得，g點的座標為，，，
過點g的切線方程為即，
令得，點的座標為，由橢圓方程得點的座標為，
即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；
（2）過作軸的垂線與拋物線只有乙個交點,以為直角的只有乙個，同理以為直角的只有乙個
若以為直角，設點座標為，
、兩點的座標分別為和，
。關於的二次方程有一大於零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。
點評：本題考查橢圓和拋物線方程的求法、拋物線的切線方程的求法、存在性問題的解決方法、分析問題解決問題的能力，是一道幾乎網羅了平面解析幾何的所有知識點並且和導數的應用交匯在一起的綜合性試題，是一道「在知識網路的交匯處」設計的典型試題。
易錯指導：本題把拋物線和橢圓結合在一起，題目的條件裡還有兩條直線，考生在心理上畏懼，可能出現的問題是思維混亂，理不清題目中錯綜複雜的關係，找不到正確的解題思路；在解決第二問時缺乏分類討論的思想意識產生漏解等
【專題綜合】
易錯點一、考慮不全面
例1 過（0，2）作直線，使與拋物線僅有乙個公共點，這樣的直線有幾條？
錯解：設直線的方程為y＝kx＋2，與聯立，整理得
因為與拋物線僅有乙個公共點，所以，解得
此時的方程為所以這樣的直線有一條
剖析：（1）問題之一，錯解忽視了對斜率不存在這一情況的考慮，事實上，直線方程為x＝0時，是符合條件的。（2）問題之二，得到方程後，方程不一定是一元二次方程。
如果不是一元二次方程，當然就沒有什麼判別式了，故需按k＝0及兩種情況考慮。
正解：當直線的斜率存在時，設直線的方程為y＝kx＋2，與聯立，整理得
（1）k＝0時，方程只有乙個解y＝2，故為直線y＝2時與拋物線只有乙個公共點，滿足條件；
（2）時，因為與拋物線僅有乙個公共點，所以，解得解得
此時的方程為
當直線的斜率不存在時，直線x＝0與拋物線只有乙個公共點，滿足條件
綜上，符合條件的直線有三條：x＝0，y＝2，
點評：忽視含引數係數的討論，以及設直線方程（為點斜式、斜截式、截距式等時，忽視對引入的引數（如斜率、截距等）的特殊情況的考慮是同學們在做題中的常見錯誤，一定要注意
易錯點二：變形不等價
例2 直線與曲線有且僅有乙個公共點，則的取值範圍是 （ ）
ab．或 c． d．
錯解：聯立方程組，消去得，因為直線與曲線有且僅有乙個公共點，所以方程只有一解，所以,解得，所以選a.
剖析：本題中曲線並不是乙個完整的圓而是半個圓（右半圓），而時，直線與曲線有且僅有乙個公共點，並不能保證直線與右半圓也只有乙個公共點
正解：作出曲線的圖形，如圖所示：
由圖形可得，當直線在和之間變化時，滿足題意，同時，當直線在的位置時也同時滿足題意，所以應選（b）
點評：曲線的表示式本身限制了的取值只是非負值，所以曲線只是圓的右半部分。若用代數方法處理，應是方程組化為關於的方程後只有乙個非負解，相比之下數形結合更簡捷明快
【專題突破】
1.過點的直線l經過圓的圓心，則直線l的傾斜角大小為（ ）
a．150b．120c．30d．60°
2.（08重慶卷3)圓o1:和圓o2: 的位置關係是（ ）
a.相離 b.相交 c.外切 d.內切
3.方程對應的曲線是（ ）
4．設直線與拋物線交於a、b兩點，則ab的中點到軸的距離為（ ）。
a．4b．3c．2d．1
5.（文）若直線mx＋ny＝4和⊙o∶沒有交點，則過（m，n）的直線與橢圓的交點個數（ ）
a．至多乙個 b．2個 c．1個 d．0個
5.（理）在橢圓上有一點p，f1、f2是橢圓的左右焦點，△f1pf2為直角三角形，則這樣的點p有（ ）
ａ．４個或６個或８個 ｂ．4個6個8個
6.已知點在圓上運動，則代數式的最大值是（ ）
a. b.－ c. d.－
7．橢圓的離心率的取值範圍是（ ）
a．（） b．（） c．（） d．（）
8．對於拋物線上任意一點，點都滿足，則實數的最大值是（ ）
北師大版高中數學必修選修目錄
數學1 必修 第一章集合 1集合的含義與表示 2集合的基本關係 3集合的基本運算 閱讀材料康托與集合論 第二章函式 1生活中的變數關係 2對函式的進一步認識 3函式的單調性 4二次函式性質的再研究 5簡單的冪函式 閱讀材料函式概念的發展 課題學習個人所得稅的計算 第三章指數函式和對數函式 1正整數指...
北師大版高中數學必修5知識點
高中數學必修4知識點 2 角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在座標軸上的角的集合為 3 與角終邊相同的角的集合為 4 ...
北師大版高中數學必修5各章節教學目標
為做好必修5的教學及複習工作，特對必修5各章節的教學目標歸納如下，僅供參考.第一章數列 章前語 1 創設問題情境，激發學習本章內容的興趣.2 明確本章的主要學習內容，即 有關數列的基本知識，建立等差數列和等比數列兩種模型，探索它們的基本數量關係，感受它們的應用.1 數列 1.1 數列的概念 1 通過...