數列（一）
一、知識要點：
1．數列的有關概念：定義、分類、通項公式、前項和的公式、遞推公式
等差數列：定義、通項公式、前項和的公式（三個）、
性質（，…）
等比數列：定義、通項公式、前項和的公式、性質（，…）
2．數列遞推：
基本型別：等差型、等比型、與關係型、待定係數型（分配常數型）、累加型、累積型
提高型：倒數型、對數型。
3．數列求和：錯位相減法，拆項相消法，公式法，倒序相加法，併項求和法，週期性法。
4．數列的實際應用（ 單利、複利、增長率問題。）
5．題型：
（1）基本題：知三求二型的計算（方程思想），型數列的求和，型數列的求和
（2）提高型：遞推通項求和（可能會綜合有不等式證明、函式求最值、數學歸納法等，但數列是核心函式是工具）
二、練習題
1.設為數列的前項和，，，其中是常數．
（1）求及； （2）若對於任意的，，，成等比數列，求的值．
2．已知數列滿足， .
（1）令，證明：是等比數列； （2）求的通項公式。
3．在等比數列中，前項和為。若成等差數列，則成等差數列。
（1）寫出這個命題的逆命題； （2）判斷逆命題是否為真？並給出證明。
4．數列是首項的等比數列，且，，成等差數列，
（1）求數列的通項公式； （2）若，設為數列的前項和，若≤對一切恆成立，求實數的最小值.
5．已知數列是首項為，公比的等比數列，設 ，數列。 （1）求證：是等差數列；（2）求數列的前項和；
（3）若一切正整數恆成立，求實數的取值範圍。
6．已知點是函式且）的圖象上一點，等比數列的前項和為,數列的首項為，且前項和滿足－=+（）.
（1）求數列和的通項公式；
（2）若數列{前項和為，問的最小正整數是多少?
7．已知數列中，在直線上，其中.
（1）令，求證數列是等比數列； （2）求數列
⑶ 設分別為數列的前項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。
8．已知數列的前項和為，設是與2的等差中項，數列中，，
點在直線上。 （1）求數列、的通項公式；
（2）若數列的前項和為，比較與1的大小；
（3）令，是否存在正整數，使得對一切正整數都成立？請說明理由。
9．已知正數數列中，，且關於的方程
有兩個相等的實根。（1）求證：數列是等差數列；
（2）求數列的通項公式； （3）設數列前項之和，求證：。
10．已知數列的前項和為，且對一切正整數都有。
（1）證明：； （2）求數列的通項公式；
（3）設，
求證：對一切都成立。
11．設是公差不為零的等差數列，為其前項和，滿足，
（1）求數列的通項公式及前項和；
（2）試求所有的正整數，使得為數列中的項.
12．從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，並以此發展旅遊產業，打算本年度投入800萬元，以後每年投入將比上年平均減少，本年度旅遊收入為400萬元，由於該項建設對旅遊的促進作用，預計今後的旅遊業收入每年會比上年平均增加.
（1）設第年（本年度為第一年）的投入為萬元，旅遊業收入為萬元，寫出，的
表示式； （2）至少經過幾年旅遊業的總收入超過總投入？
13．某地正處於**帶上，預計年後該地將發生**.當地決定重新選址建設新城區，同時對舊城區進行拆除.已知舊城區的住房總面積為，每年拆除的數量相同；新城區計畫第一年建設住房面積，開始幾年每年以的增長率建設新住房，然後從第五年開始，每年都比上一年增加.
設第n)年新城區的住房總面積為，該地的住房總面積為.
（1）求；（2）若每年拆除，比較與的大小.
數列（一）
一、知識要點：
1．數列的有關概念：定義、分類、通項公式、前項和的公式、遞推公式
等差數列：定義、通項公式、前項和的公式（三個）、
性質（，…）
等比數列：定義、通項公式、前項和的公式、性質（，…）
2．數列遞推：
基本型別：等差型、等比型、與關係型、待定係數型（分配常數型）、累加型、累積型
提高型：倒數型、對數型。
3．數列求和：錯位相減法，拆項相消法，公式法，倒序相加法，併項求和法，週期性法。
4．數列的實際應用（ 單利、複利、增長率問題。）
5．題型：
（1）基本題：知三求二型的計算（方程思想），型數列的求和，型數列的求和
（2）提高型：遞推通項求和（可能會綜合有不等式證明、函式求最值、數學歸納法等，但數列是核心函式是工具）
二、練習題
1.設為數列的前項和，，，其中是常數．
（1）求及；
（2）若對於任意的，，，成等比數列，求的值．
1．解（1）當，
（） 經驗，（）式成立，
（2）成等比數列，，
即，整理得：，對任意的成立，
2．已知數列滿足， .
（1）令，證明：是等比數列； （2）求的通項公式。
解：（1）證
當時，所以是以1為首項，為公比的等比數列。
（2）由（1）知
當時，當時，。 所以。
3．在等比數列中，前項和為。若成等差數列，則成等差數列。
（1）寫出這個命題的逆命題； （2）判斷逆命題是否為真？並給出證明。
3．解：（1）在等比數列中，前項和為，若成等差數列，
則成等差數列。
（2）數列的首項為，公比為。由題意知：
即當時，有
顯然：。此時逆命題為假。
當時，有，
，此時逆命題為真。
4．數列是首項的等比數列，且，，成等差數列，
（1）求數列的通項公式；
（2）若，設為數列的前項和，若≤對一切恆成立，求實數的最小值.
解：（1）當時，,不成等差數列。
當時， ，
∴ （6分）
（2）又≤ ， ∴的最小值為
5．已知數列是首項為，公比的等比數列，設 ，數列。
（1）求證：是等差數列； （2）求數列的前項和；
（3）若一切正整數恆成立，求實數的取值範圍。
5．解：（1）由題意知，…
∴數列的等差數列…
（2）由（1）知，
於是：兩式相減得
…（3）
∴當n=1時，
當∴當n=1時，取最大值是
又一切正整數恆成立
即…6．已知點（1，）是函式且）的圖象上一點，等比數列的前項和為,數列的首項為，且前項和滿足－=+（）.
（1）求數列和的通項公式；
（2）若數列{前項和為，問的最小正整數是多少?
解（1）,
,, .
又數列成等比數列， ，所以 ；
又公比，所以 ；
又,, ；
數列構成乙個首相為1公差為1的等差數列， ，
當， ；
()；（2）
； 由得，滿足的最小正整數為112.
7．已知數列中，在直線上，其中.
（1）令，求證數列是等比數列； （2）求數列
⑶ 設分別為數列的前項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。
7．解：（1）由已知得
又是以為首項，以為公比的等比數列.
（2）由（i）知，
將以上各式相加得：
（3）解法一：
存在，使數列是等差數列.
數列是等差數列的充要條件是、是常數即又
當且僅當，即時，數列為等差數列.
解法二：
存在，使數列是等差數列.
由（i）、（ii）知，
又當且僅當時，數列是等差數列
8．已知數列的前項和為，設是與2的等差中項，數列中，，
點在直線上。 （1）求數列、的通項公式；
（2）若數列的前項和為，比較與1的大小；
（3）令，是否存在正整數，使得對一切正整數都成立？請說明理由。
8．解：（1）依題設，，則，
當時，即，數列是公比為2，首項為2的等比數列，則。
因為點在直線上，故，即
故數列是公差為2，首項為1的等差數列，則
（2）由（1）有，則故
（3）……①
……②①--②得
，則故存在正整數，使得，。
9．已知正數數列中，，且關於的方程
有兩個相等的實根。（1）求證：數列是等差數列；（文科）
（2）求數列的通項公式；
（3）設數列前項之和，求證：。
9．（1）依題設有，即
，即，故數列是首項為，公差為的等差數列
（2）由（1）得，
（3） 則
兩式相減得
，即10．已知數列的前項和為，且對一切正整數都有。
（1）證明：； （2）求數列的通項公式；
（3）設，
求證：對一切都成立。
解：（1），，
化簡得，
（2）由，得
又，故（3）， 對一切都成立。
11．設是公差不為零的等差數列，為其前項和，滿足，
（1）求數列的通項公式及前項和；
（2）試求所有的正整數，使得為數列中的項.
11．解：（1）設公差為，則，即
，因為，所以，即，
又由得，解得，
所以的通項公式為，前項和。
（2）（方法一），
令， ，
因為是奇數，所以可取的值為，
當，時，，，是數列中的項；
當，時，，數列中的最小項是，不符合。
所以滿足條件的正整數。
（方法二）因為為數列中的項，
故為整數，又由（1）知：為奇數，所以
經檢驗，符合題意的正整數只有。
12．從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，並以此發展旅遊產業，打算本年度投入800萬元，以後每年投入將比上年平均減少，本年度旅遊收入為400萬元，由於該項建設對旅遊的促進作用，預計今後的旅遊業收入每年會比上年平均增加.
（1）設第年（本年度為第一年）的投入為萬元，旅遊業收入為萬元，寫出，的表示式；
（2）至少經過幾年旅遊業的總收入超過總投入？
解：（1）依題意每年投入構成首項為800萬元，公比為的等比數列，每年旅遊業收入組織首項為400萬元，公比為的等比數列。
所以，（2）解，經過年，總收投入
經過年，總收入
設經過年，總收入超過總投入，由此，,
化簡得設代入上式整理得， 解得，或（捨去）
由，時， ，，＝
因為在定義域上是減函式，所以
答：至少經過5年旅遊業的總收入超過總投入。
13．某地正處於**帶上，預計年後該地將發生**.當地決定重新選址建設新城區，同時對舊城區進行拆除.已知舊城區的住房總面積為，每年拆除的數量相同；新城區計畫第一年建設住房面積，開始幾年每年以的增長率建設新住房，然後從第五年開始，每年都比上一年增加.
設第n)年新城區的住房總面積為，該地的住房總面積為.
（1）求；（2）若每年拆除，比較與的大小.
秭歸一中高三數學第二輪複習《數列1》
數列 1 如圖，在楊輝三角中，斜線上方，從1開始箭頭所示的數組成乙個鋸齒數列 1，3，3，4，5，6，10，記其前n項和為sn，則s19等於 2 已知數列1，2，2，這個數列的特點是從第二項起，每一項都等於它的前後兩項之積，則這個數列的前2009項之積等於 a 1b 2c 4d 8 3 一種半算裝置...
第二輪複習選下
專題5 不等式直線與圓線性規劃 6.07重慶卷 若a是1 2b與1 2b的等比中項,則的最大值為 a.b.cd.解答 a是1 2b與1 2b的等比中項,則 選b 理科 若,則的取值範圍是 ab.cd.解答 c.區域如圖示,過時的最小值為,與圓弧相切時,此時取得最大值,故選擇c.例4 在約束條件下,當...
中考第二輪
大慶市第二十五中學 發展性課堂 導學案 押題1.如圖，ab是半圓o的直徑，點p從點o出發，沿oa 弧ab bo的路徑運動一周 設op為，運動時間為，則下列圖形能大致地刻畫與之間關係的是 押題2.如圖，ab是 o的弦，od ab於d交 o於e，則下列說法錯誤的是 a ad bd b acb aoe c...