初三總複習_《證明二》
一、知識點歸納
1、一般三角形的性質
(1) 角與角的關係：
三個內角的和等於180°；
乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和，並且大於任何—個和它不相鄰的內角。
(2) 邊與邊的關係：
三角形中任兩邊之和大於第三邊，任兩邊之差小於第三邊。
(3) 邊與角的大小對應關係：
在乙個三角形中，等邊對等角；等角對等邊。
2、全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。
3、三角形全等的判定方法：
（1）一般三角形全等的判定方法：①sss；②sas；③asa；④aas。
（3）直角三角形全等的判定方法：①sss；②sas；③asa；④aas；⑤hl。
4、三角形相似的判定方法：
（1）一般三角形相似的判定方法：①sss；②sas；③aa；
（3）直角三角形相似的判定方法：①sss；②sas；③aa；④hl。
5、特殊三角形的性質和判定
（1）等腰三角形
性質：①等腰三角形的兩個底角相等；
②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。
（2）等邊三角形
性質：①具有等腰三角形的所有性質；
②等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°
判定：①有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形；
②三個角都相等的三角形是等邊三角形。
（3）直角三角形
性質：①勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方；
②直角三角形中，若乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
③直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
判定：①勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，則該三角形就是直角三角形。
②若乙個三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
6、線段的垂直平分線的定理及其逆定理：
（1）定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。
（2）逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
（3）三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等。
7、角平分線的定理及其逆定理：
（1）定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
（2）逆定理：在乙個角的內部，且到角的兩邊的距離相等的點，在這條角的平分線上。
（3）三角形的三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等。
二、典型例題
例1 如圖，等腰三角形abc中，ab=ac，一腰上的中線bd將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長
例2 如圖，在正方形中，是的中點，是上一點，且，下列結論：①，②，③，④．其中正確的個數為（ ）
ａ．1234
例3 如圖，在等腰三角形中，，，為底邊上一動點（不與點重合），，，垂足分別為，求的長．
例4 如圖，△是等邊三角形，點、、分別是線段、、上的點，
（1）若，問△是等邊三角形嗎？試證明你的結論；
（2）若△是等邊三角形，問成立嗎？試證明你的結論．
例5 如圖，在rt△abc中，∠c＝90°，∠a＝60°，ab＝12cm，若點p從b點出發以2cm/秒的速度向a點運動，點q從a點出發以1cm/秒的速度向c點運動，設p、q分別從b、a同時出發，運動時間為t秒.解答下列問題：
（1）用含t的代數式表示線段ap，aq的長；
（2）當t為何值時△apq是以pq為底的等腰三角形？
（3）當t為何值時pq∥bc？
例6 如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的乙個動點（不與重合），，，垂足分別為．
（1）求證：；
（2）與是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；
（3）當時，為等腰直角三角形嗎？並說明理由．
三、鞏固練習
1. 如果三角形內的一點到三邊的距離相等，則這點是（ ）.
（a）三角形三條邊垂直平分線的交點 （b）三角形三條邊中線的交點
（c）三角形三個內角平分線的交點 （d）三角形三條邊上高的交點
2. 如圖，△abc中，∠acb=90，∠b=30，ad是角平分線，de⊥ab於e，ad、ce相交於點h，則圖中的等腰三角形有（ ）
（a）2個b）3個c）4個d）5個
3. 如圖，△abc中，ab=ac，ad是角平分線，de⊥ab，df⊥ac，e、f為垂足，對於結論：①de=df；②bd=cd；③ad上任一點到ab、ac的距離相等；④ad上任一點到b、c的距離相等.
其中正確的是（ ）.
（a）僅①② （b）僅③④ （c）僅d）①②③④
4. 如圖，有a、b、c三個居民小區的位置成三角形，現決定在三個小區之間修建乙個購物超市，使超市到三個小區的距離相等，則超市應建在
（a）在ac、bc兩邊高線的交點b）在ac、bc兩邊中線的交點處
（c）在ac、bc兩邊垂直平分線的交點處 （d）在∠a、∠b兩內角平分線的交點處
5. 如圖，已知ac平分∠paq，點b、b分別在邊ap、aq上，如果新增乙個條件，即可推出ab=ab，下列條件中哪個可能無法推出ab=ab（ ）
（a）bb⊥acb）bc=bcc）∠acb=∠acb （d）∠abc=∠abc
6. 已知△abc，
⑴如圖1，若p點是∠abc和∠acb的角平分線的交點，則∠p=90°∠a；
⑵如圖2，若p點是∠abc和外角∠ace的角平分線的交點，則∠p=90°－∠a；
⑶如圖3，若p點是外角∠cbf和∠bce的角平分線的交點，則∠p=90°－∠a。
上述說法下確的個數是（ ）.
（a）0個b）1個c）2個d）3個
7. 如圖，△abc中，∠c=90°，ac=bc，ad平分∠cab交bc於點d，de⊥ab，垂足為e，且ab=6cm，則△deb的周長為（ ）
（a）4cm （b）6cm （c）8 cm （d）10cm
8. 如圖，l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現要建乙個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的位址有（ ）
（a）一處 （b）二處 （c）三處 （d）四處
9.在△abc中，ab=ac，∠bac=90°，斜邊bc的中點與ab的垂直平分線交於d點，若bc=，則d點到△abc的三個頂點的距離的和是
10. 如圖，在△abc中，ab=ac，ab的垂直平分線de交bc的延長線於e，交ac於f，∠a=50，則∠efc的度數為 。
11. 如圖，∠bac=30，p是∠bac平分線上一點，pm//ac，pd⊥ac，若am=8cm，則pdcm.
12. 如圖，在δabc中，bc=5 cm，bp、cp分別是∠abc和∠acb的角平分線，且pd∥ab，pe∥ac，則δpde的周長是cm.
13. 已知:如圖,在△abc中,ab=ac,∠a=120°,ab的垂直平分線mn分別交bc,ab於點m,n,求證:cm=2bm.
14. 如圖,△abc中,∠b=22.5°,∠c=60°,ab的垂直平分線交bc於點d,bd=,ae⊥bc於e,求ec的長.
15. 如圖，△abc中，ad是∠bac的平分線，de⊥ab於e，df⊥ac於f.
求證：（1）ad⊥ef ；
（2）當有一點g從點d向a運動時，ge⊥ab於e，gf⊥ac於f，此時上面結論是否成立？
四、提高練習
1、如圖，△abc是邊長為6cm的等邊三角形，被一平行
於bc的矩形所截，ab被截成三等分，則圖中陰影部分的
面積為（ ）
（a）4cm2 （b）2cm2
（c）3cm2 （d）4cm2
2、如圖1－1－7，△abc是直角三角形，bc是斜邊， △abp繞點a逆時針旋轉後，能與△acp重合， 如果ap=3，那麼pp′的長等於（ ）
a．3 b．2 c．3 d．4
3、如圖1－1－22,在等腰直角△abc中,ac=bc,以斜邊ab為一邊作等邊,使點c,d在ab的同側;再以cd為一邊作等邊△cde,使點c,e落在ad的異側.若ae=1,則cd的長為（）
(a) (b) (c) (d)
4、如圖，已知△abc中，ce⊥ad於e，bd⊥ad於d，bm=cm。求證：me=md。
5、如圖，已知，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，
m是bc的中點，p為bc上任一點，pe⊥ab於e，pf⊥ac於f，求證：me=mf。
6、如圖，以等腰直角三角形abc的斜邊ab與邊面內作等邊△abd，鏈結dc，以dc當邊作等邊△dce，b、e在c、d的同側，若ab=，求be的長.
7、如圖，把矩形abcd紙片摺疊，使點b落在點d處，點c落在c』處，摺痕ef與bd交於點o，已知ab=16，ad=12，求摺痕ef的長。
8、已知∠aob=90°，om是∠aob的平分線，按以下要求解答問題：
(1) 將三角板的直角頂點p在射線om上移動，兩直角邊分別與邊oa，ob交於點c，d.
①在圖甲中，證明：pc=pd；
②在圖乙中，點g是cd與op的交點，且pg=pd，求△pod與△pdg的面積之比.
（2）將三角板的直角頂點p在射線om上移動，一直角邊與邊ob交於點d，od=1，另一直角邊與直線oa，直線ob分別交於點c，e，使以p，d，e為頂點的三角形與△ocd相似，在圖丙中作出圖形，試求op的長.
五、中考真題
1、（2004深圳）等腰三角形的兩邊長分別為2cm和5cm，則它的周長為________.
2、（2005深圳）如圖，已知，在△abc和△dcb中，ac=db，若不增加任何字母與輔助線，要使△abc≌△dcb，則還需增加乙個條件是__。
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