專題5 不等式直線與圓線性規劃
6.(07重慶卷)若a是1+2b與1-2b的等比中項,則的最大值為( )
a. b. cd.
解答 a是1+2b與1-2b的等比中項,則
, 選b
(理科)若,則的取值範圍是( )
ab.cd.
解答 c.區域如圖示,過時的最小值為,
與圓弧相切時,此時取得最大值,故選擇c.
例4 在約束條件下,當3≤s≤5時,目標函式的變化範圍是( )
a.［6,15］ b.［7,15］ c.［6,8］ d.［7,8］
解答 d.交點為b(4-s,2s-4),又由直線x+y=s及y+2x=4與座標軸的交點分別為c(0,s),d(s,0),a(2,0),c＇(0,4).
當3≤s＜4時,可行域是四邊形oabc,此時7≤z＜8;當4≤s＜5時,可行域是△oac＇,此時故選擇d.
點評本題中由於約束條件中設定了乙個引數s,由於s的不同,使得可行域也發生了變化,這樣在不同的可行域下,就導致了目標函式最值也隨著發生變化,因此考生在計算時需對s進行分類討論.同時需要指出的是,線性規劃也可在目標函式的設計上進行創新.如目標函式設計為求z=(x-a)2+(y-b)2(到點(a,b)的距離的平方)的範圍;求(與點(a,b)連線的斜率)的範圍等.
18.兩家人共同擁有一塊土地,形狀是等腰直角三角形, , m,如果兩家人準備劃分一條分割線(直線段),使兩家所得土地面積相等,其中分別**段上.
(1)如果準備在分割線上建造一堵牆,請問如何劃分割線,才能使造牆費用最少;
(2)如果準備在分割線上栽種同一種果樹,請問如何劃分割線,才能使果樹的產量最大.
解答設aq=x,ap=y
又,pq＝
(1) ,此時,又.
即取ap=aq=公尺時,pq的長最短,因而造牆費用最少.
(2)考察函式得:當函式遞增,當函式遞減
所以函式的最大值,此時,故當p取在b點,q取在ac的中點處時,pq最長,因而果樹的產量最大.
(理科)定義在r上的函式滿足下列條件:①;②且;③當x∈r時,導數.若的反函式是,則不等式的解集為( )
a.(0,2) b.(1,2) c.(－∞,2) d.(2,＋∞)
解答 b.由在r上是增函式,過點,值域為,知定義域為,在上也單增,所以且,得,故選擇b.
(理科)設f(x)是定義在r上的奇函式,在上有且f(-2)=0,則不等式xf(2x)<0的解集為
7.用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥,用x單位量的水清洗一次以後,蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為函式f(x),設.現有2單位量的水.
方案(1):一次清洗蔬菜;方案(2):把水平均分成2份後清洗兩次.
則用方案(1)清洗後蔬菜上殘留的農藥量與用方案(2)清洗後蔬菜上殘留的農藥量之比為
解答設清洗前殘留的農藥量為a,則方案(1)清洗後殘留的農藥量為.
方案(2)清洗後殘留的農藥量為.
於是用方案(1)清洗後蔬菜上殘留的農藥量與用方案(2)清洗後蔬菜上殘留的農藥量之比4:5.
專題6 圓錐曲線
(理科)(四川卷)如果雙曲線上一點到雙曲線右焦點的距離是2,那麼點p到y軸的距離是( )
(a) (b) (c) (d)
解答由點到雙曲線右焦點的距離是2知在雙曲線右支上.又由雙曲線的第二定義知點到雙曲線右準線的距離是,雙曲線的右準線方程是,故點到軸的距離是,選a.
(理科)(07北京)橢圓的焦點為, ,兩條準線與軸的交點分別為m,n,若,則該橢圓離心率的取值範圍是( )
abcd.
解答橢圓的焦點為, ,兩條準線與軸的交點分別為m,n,
若, , ,則,該橢圓離心率e≥,故選擇d.
2.拋物線的焦點為f,準線為l,經過f且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交於點a, ,垂足為k,則△akf的面積是( )
a.4bcd.8
解答拋物線的焦點f(1,0),準線為l:,經過f且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交於點a(3,2), ,垂足為k(－1,2),∴ 正△akf的面積是4,選c.
3. (07全國ⅰ)已知橢圓的左、右焦點分別為、,過的直線交橢圓於b、d兩點,過的直線交橢圓於a、c兩點,且,垂足為p.
(ⅰ)設p點的座標為,證明:;
(ⅱ)求四邊形abcd的面積的最小值.
解答 (ⅰ)橢圓的半焦距,由,知點在以線段為直徑的圓上,故,所以,.
(ⅱ)(ⅰ)當的斜率存在且時,的方程為,代入橢圓方程,並化簡得.
設, ,則:, ,
;因為與相交於點,且的斜率為.所以,.
四邊形的面積.
當時,上式取等號.
(ⅱ)當的斜率或斜率不存在時,四邊形的面積.
綜上,四邊形的面積的最小值為.
3.(07北京)已知函式與的圖象相交於, , ,分別是的圖象在兩點的切線,分別是,與軸的交點.
()求的取值範圍;
()設為點的橫座標,當時,寫出以為自變數的函式式,
並求其定義域和值域;
()試比較與的大小,並說明理由(是座標原點).
解答 ()由方程消得. ①
依題意,該方程有兩個正實根,故解得.
()由,求得切線的方程為,由,並令,得.
,是方程①的兩實根,且,故, ,
是關於的減函式,所以的取值範圍是.
是關於的增函式,定義域為,所以值域為,
()當時,由()可知.
類似可得..
由①可知.從而.
當時,有相同的結果.所以.
4.(重慶卷)如圖,傾斜角為的直線經過拋物線的焦點f,且與拋物線交於a、b兩點.
題(21)圖
(ⅰ)求拋物線的焦點f的座標及準線l的方程;
(ⅱ)若為銳角,作線段ab的垂直平分線m交x軸於點p,證明|fp|–|fp|cos2為定值,並求此定值.
解答 (ⅰ)設拋物線的標準方程為,則,從而因此焦點的座標為(2,0).
又準線方程的一般式為.從而所求準線l的方程為.
(ⅱ)解法一如圖(21)圖作ac⊥l,bd⊥l,垂足為c、d,則由拋物線的定義知|fa|=|fc|,|fb|=|bd|.
記a、b的橫座標分別為***z,則
|fa|＝|ac|＝解得,
類似地有,解得.
記直線m與ab的交點為e,則
,所以.故.
解法二設, ,直線ab的斜率為,則直線方程為.
將此式代入,得,故.
記直線m與ab的交點為,則, ,
故直線m的方程為.
令y=0,得p的橫座標.故.
從而為定值.
10.已知橢圓兩焦點分別為f1、f2,p是橢圓在第一象限弧上一點,並滿足=1,過p作傾斜角互補的兩條直線pa、pb分別交橢圓於a、b兩點.
(ⅰ)求p點座標;
(ⅱ)求直線ab的斜率;
(ⅲ)求△pab面積的最大值.
解答 (ⅰ)由題可得f1(0,), f2(0, －), 設p(x0, y0)(x0>0, y0>0),
則,在曲線上,則, ,則點p的座標為(1,).
(ⅱ)由題意知,兩直線pa、pb的斜率必存在,設pb的斜率為k(k>0),則bp的直線方程為:y－=k(x－1) 由,得,
設則, ,
同理,.
,所以:ab的斜率.
(ⅲ)設ab的直線方程:,由得,
, ,,
當且僅當m=±2∈(－2,2)取等號.∴三角形pab面積的最大值為.
21.過點q(2,2)作拋物線的動弦ab,過a、b兩點分別作拋物線的切線,兩切線交於點p.
(ⅰ)若點a的橫座標為,求點b的座標;
(ⅱ)求點p的軌跡方程.
解答 (ⅰ),即a(-2,1).
又q(2,2),所以直線aq即ab的方程為.
由(ⅱ)設直線ab的斜率為k,且點q(2,2)直線ab,令a(x1,y1),b(x2,y2).
則直線ab的方程為.
將其帶入拋物線方程消去y得關於x的方程.
由韋達定理得……①
且……②
聯立切線ap與bp的方程……③
將①②代入③得即為點p的軌跡方程.
專題7 立體幾何
1.(07四川)如圖,為正方體,下面結論錯誤的是( )
(a)平面b)
(c)平面d)異面直線與所成的角為60°
解答異面直線與所成的角為45°,選ｄ.
18.(07四川)如圖,在正三稜柱中,側稜長為,底面三角形的邊長為1,則與側面所成的角是
解答 ,點到平面的距離為,∴,.
3.(07全國)乙個正四稜柱的各個頂點在乙個直徑為2cm的球面上.如果正四稜柱的底面邊長為1cm,那麼該稜柱的表面積為cm.
解答乙個正四稜柱的各個頂點在乙個直徑為2cm的球面上.正四稜柱的對角線的長為球的直徑,現正四稜柱底面邊長為1cm,設正四稜柱的高為h,∴ 2r=2=,解得h=,那麼該稜柱的表面積為2+4cm2.
3.(07全國ⅰ)四稜錐中,底面abcd為平行四邊形,側面底面abcd,已知, ,
,.(ⅰ)證明:;
(ⅱ)求直線sd與平面sbc所成角的大小.
解答解法一 (ⅰ)作,垂足為,鏈結,
由側面底面,
得底面.因為,所以,
又,故為等腰直角三角形, ,
由三垂線定理,得.
(ⅱ)由(ⅰ)知,依題設,
故,由,
,.又,作,垂足為,
則平面,鏈結.為直線與平面所成的角.
,所以,直線與平面所成的角為.
解法二 (ⅰ)作,垂足為,鏈結,由側面底面,得平面.因為,所以.又,為等腰直角三角形,.
如圖,以為座標原點,為軸正向,建立直角座標系,
因為, ,
又,所以, ,.
, ,, ,所以.
(ⅱ),.
與的夾角記為,與平面所成的角記為,因為為平面的法向量,所以與互餘., ,所以,直線與平面所成的角為.
4.(07全國)如圖,在四稜錐中,底面為正方形,側稜底面分別為的中點.
(1)證明平面;
(2)設,求二面角的大小.
解答解法一 (1)作交於點,則為的中點.
鏈結,又,故為平行四邊形.
,又平面平面,所以平面.
(2)不妨設,則為等腰直角三角形.
取中點,鏈結,則.
又平面,所以,而,所以面.
取中點,鏈結,則.鏈結,則.
故為二面角的平面角,.
中考第二輪
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