一、本章知識結構：
二、高考要求
1． 理解數列的有關概念，了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前n項.
2． 理解等差（比）數列的概念，掌握等差（比）數列的通項公式與前n項和的公式. 並能運用這些知識來解決一些實際問題.
3． 了解數學歸納法原理，掌握數學歸納法這一證題方法，掌握「歸納—猜想—證明」這一思想方法.
三、熱點分析
1.數列在歷年高考中都占有較重要的地位，一般情況下都是乙個客觀性試題加乙個解答題，分值佔整個試卷的10%左右.客觀性試題主要考查等差、等比數列的概念、性質、通項公式、前n項和公式、極限的四則運算法則、無窮遞縮等比數列所有項和等內容，對基本的計算技能要求比較高，解答題大多以考查數列內容為主，並涉及到函式、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬於中高檔難度的題目.
2.有關數列題的命題趨勢 （1）數列是特殊的函式，而不等式則是深刻認識函式和數列的重要工具，三者的綜合求解題是對基礎和能力的雙重檢驗，而三者的求證題所顯現出的代數推理是近年來高考命題的新熱點 （2）數列推理題是新出現的命題熱點.以往高考常使用主體幾何題來考查邏輯推理能力，近兩年在數列題中也加強了推理能力的考查。
（3）加強了數列與極限的綜合考查題
3.熟練掌握、靈活運用等差、等比數列的性質。等差、等比數列的有關性質在解決數列問題時應用非常廣泛，且十分靈活，主動發現題目中隱含的相關性質，往往使運算簡潔優美.
如，可以利用等比數列的性質進行轉化：從而有，即.
4.對客觀題，應注意尋求簡捷方法解答歷年有關數列的客觀題，就會發現，除了常規方法外，還可以用更簡捷的方法求解.現介紹如下：
①借助特殊數列. ②靈活運用等差數列、等比數列的有關性質，可更加準確、快速地解題，這種思路在解客觀題時表現得更為突出，很多數列客觀題都有靈活、簡捷的解法
5.在數列的學習中加強能力訓練數列問題對能力要求較高，特別是運算能力、歸納猜想能力、轉化能力、邏輯推理能力更為突出.一般來說，考題中選擇、填空題解法靈活多變，而解答題更是考查能力的集中體現，尤其近幾年高考加強了數列推理能力的考查，應引起我們足夠的重視.
因此，在平時要加強對能力的培養。
6．這幾年的高考通過選擇題，填空題來著重對三基進行考查，涉及到的知識主要有：等差（比）數列的性質. 通過解答題著重對觀察、歸納、抽象等解決問題的基本方法進行考查，其中涉及到方程、不等式、函式思想方法的應用等，綜合性比較強，但難度略有下降.
四、複習建議
1． 對基礎知識要落實到位，主要是等差（比）數列的定義、通項、前n項和.
2． 注意等差（比）數列性質的靈活運用.
3． 掌握一些遞推問題的解法和幾類典型數列前n項和的求和方法.
4． 注意滲透三種數學思想：函式與方程的思想、化歸轉化思想及分類討論思想.
5． 注意數列知識在實際問題中的應用，特別是在利率,分期付款等問題中的應用.
6． 數列是高中數學的重要內容之一，也是高考考查的重點。而且往往還以解答題的形式出現，所以我們在複習時應給予重視。近幾年的高考數列試題不僅考查數列的概念、等差數列和等比數列的基礎知識、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了學生的各種能力。
五、典型例題
數列的概念與性質
【例1】 已知由正數組成的等比數列，若前項之和等於它前項中的偶數項之和的11倍，第3項與第4項之和為第2項與第4項之積的11倍，求數列的通項公式.
解：∵q=1時，
又顯然，q≠1
∴依題意；解之
又，依題意，將代入得
【例2】 等差數列中， =30， =15，求使an≤0的最小自然數n。
解：設公差為d，則或或或
解得： a33 = 30 與已知矛盾或 a33 = - 15 與已知矛盾
或a33 = 15 或 a33 = - 30 與已知矛盾
∴an = 31+(n - 1) () 31 0 n≥63
∴滿足條件的最小自然數為63。
【例3】 設等差數列的前n項和為s，已知s4=44,s7=35
（1）求數列的通項公式與前n項和公式；
（2）求數列的前n項和tn。
解：（1）設數列的公差為d，由已知s4=44,s7=35可得a1=17,d=-4
∴a=-4n+21 (n∈n),s=-2n+19 (n∈n).
（2）由a=-4n+21≥0 得n≤, 故當n≤5時，a≥0, 當n≥6時，
當n≤5時,t=s=-2n+19n 當n≥6時,t=2s5-s=2n-19n+90.
【例4】 已知等差數列的第2項是8，前10項和是185，從數列中依次取出第2項，第4項，第8項，……，第項，依次排列乙個新數列，求數列的通項公式及前n項和公式。
解：由得
∴ ∴
【例5】 已知數列：
①求證數列為等差數列，並求它的公差
②設，求的和。
解：①由條件，
∴；∴故為等差數列，公差②又知
∴∴【例6】 已知數列1，1，2……它的各項由乙個等比數列與乙個首項為0的等差數列的對應項相加而得到。求該數列的前n項和sn；
解：(1)記數列1，1，2……為，其中等比數列為，公比為q；
等差數列為，公差為d，則an =an +bn (n∈n）
依題意，b1 =0，∴a1 =a1 +b1 =a1 =1 ① a=a+b=aq+b+d=1 ②
a=a+b=aq2 +b+2d=2 ③
由①②③得d=-1, q=2, ∴
∴【例7】 已知數列滿足an+sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通項an,並加以證明。
解法1：由an+sn=n,
當n=1時，a1=s1，a1+a1=1，得a1=
當n=2時，a1+a2=s2，由a2+s2=2，得a1+2a2=2，a2=
當n=3時，a1+a2+a3=s3，由a3+s3=3，得a1+a2+2a3=3a3=
猜想， (1)下面用數學歸納法證明猜想成立。
當n=1時,a1=1-,(1)式成立
假設,當n=k時,(1)式成立,即ak=1-成立，
則當n=k+1時,ak+1+sk+1=k+1,sk+1=sk+ak+1
2ak+1=k+1-sk 又ak=k+sk
2ak+1=1+ak ak+1=
即當n=k+1時,猜想（1）也成立。
所以對於任意自然數n,都成立。
解法2：由an+sn=n得，兩式相減得：，
即，即，下略
【例8】 設數列是首項為1的等差數列，數列是首項為1的等比數列，又
。(1)求數列的通項公式與前n項和公式；
(2)當時，試判斷cn的符號（大於零或小於零），並給予嚴格證明。
解：(1)設數列的公比為q
由條件得
(2)證明：①當n=5，c5<0命題成立
②假設當
當也成立
由①，②對一切n5，都有cn<0。
【例9】 是等差數列，數列滿足的前n項和。(1)若的公差等於首項a1，證明對於任意自然數n都有；
(2)若中滿足，試問n多大時，sn取得最大值？證明你的結論。
解：(1)當，∴原命題成立
假設當成立
則 (2)由
故中最大
【例10】 已知數列的前n項和為sn，滿足條件，其中b>0且b1。(1)求數列的通項an；(2)若對4，試求b的取值範圍。
解：(1)由已知條件得
當n=1時，
故 (2)由
【例11】 兩個數列、 中，成等差數列，且成等比數列。(1)證明是等差數列；(2)若的值。
解：(1)
是等差數列
(2)又，
又數列的概念與性質練習
一、選擇題
1．設（ d ）
a．b．c．d．2．等比數列中，，那麼
的值為（ c ）
a． b． cd．
3．11．等比數列 中，a=7，前三項之和 s=21，則公比q的值是( c )
（ａ） 11或1或
4．首項為1，公差不為零的等差數列中的是乙個等比數列的前3項，則這一等
比數列的第四項為（ b ）
a．8b．－8c．－6d．不確定
5．已知數列的前n項和，那麼這個數列中的奇數項依照原來的順序構
成的數列的通項公式是（ b ）
ab．cd．6．數列的前n項和sn=3n-2n2 (n∈n)，當n>2時，就有（ d ）
a．sn>na1>nan b．sn< nan7．有下列命題：
①x=是a, x, b成等比數列的充分但不必要條件
②某數列既是等差數列又是等比數列，則這個數列一定是常數列
③已知sn表示數列的前n項和，且s，那麼一定是等比數列
④設，則這三個數a, b, c成等差數列
其中正確的命題序號是：（ d ）
a．②④ bcd．①②④
8．若兩個等差數列的前n項和(nn)，則的值等於（ c ）
a． b． c． d．
9．在等差數列中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，則此數列前13項之和為（ a ）
a．26 b．13 c．52 d．156
10．等差數列， =－5，它的前11項的算術平均值為5。若從中抽去一項，餘下10
項的算術平均值為4，則抽去的是（ d ）
a． b． c． d．
二、填空題
1．已知數列的前n項和的公式為，則通項公式為 。
2．數列的通項公式為前n項和為 s，若
(a為實常數)，則a的值等於3
三、解答題
1． （1）（2）
（3）解：（1）
（2）②－①得
(3)當n=2k（k∈n）時，
當n=2k-1 (k∈n)時，
2．數列的前n項和為sn, 已知是各項為正數的等比數列。試比較的大小，證明你的結論。
解：依題意, 可設
則從而有
(ⅰ)當q = 1時, a2 = a3 = … = 0
∴(ⅱ)當q > 0且時,
(1)當n = 1時,
∴(2)當
(i)若q > 1時, 則
(ii)若0 < q < 1時, 則
3．已知數列
(1)分別求出。
(2)當n9且n是自然數時，試比較與2的大小，並說明理由。
解：（1）；
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