第2課時分析法
課時過關·能力提公升
基礎鞏固
1分析法是從要證明的結論出發,逐步尋求使結論成立的 ( )
a.充分條件
b.必要條件
c.充要條件
d.等價條件
答案a2欲證2-成立,只需證( )
a.(2-)2<()2
b.(2-)2<()2
c.(2+)2<()2
d.(2-)2<(-)2
解析由分析法知,欲證2-,只需證2+,即證(2+)2<()2,故選c.
答案c3要證明<2,可選擇的方法有下面幾種,其中最合理的是( )
a.綜合法 b.分析法
c.特殊值法 d.其他方法
答案b4分析法又叫執果索因法,若使用分析法證明:設a>b>c,且a+b+c=0,求證: a索的因應是( )
>0 >0
c.(a-b)(a-c)>0 d.(a-b)(a-c)<0
答案c5將下面用分析法證明≥ab的步驟補充完整:要證≥ab,只需證a2+b2≥2ab,也就是證 ,即證 ,由於顯然成立,因此原不等式成立.
答案a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0
6用a,b,c和a,b,c分別表示△abc的三個內角和三條邊.求證:當tan a·tan b>1時,△abc為銳角三角形.
證明要證三角形為銳角三角形,只需證a,b,c均為銳角,只需證tan a,tan b,tan c均為正.
因為tan atan b>1,且a+b<π,
所以tan a>0,且tan b>0.
又因為tan c=tan[180°-(a+b)]
=-tan(a+b)= >0,
所以a,b,c均為銳角,即△abc為銳角三角形.
7已知a,b,m是正實數,且a證明由a,b,m是正實數,故要證,
只需證a(b+m)而m>0,所以只需證a由條件知a8設|a|<1,|b|<1,求證: <1.
證明要證<1,
只需證|a+b|<|1+ab|,
只需證(a+b)2<(1+ab)2,
只需證a2+2ab+b2<1+2ab+a2b2,
只需證a2-a2b2+b2-1<0,
只需證(a2-1)(b2-1)>0.
當a2<1,b2<1,即|a|<1,|b|<1時,上式成立.
所以原不等式成立.
9設a,b∈(0,+∞),且a≠b,求證:a3+b3>a2b+ab2.(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
證明方法一(分析法):
要證a3+b3>a2b+ab2成立,
即證(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.
又因為a+b>0,
所以只需證a2-ab+b2>ab成立,
即證a2-2ab+b2>0成立,
即證(a-b)2>0成立.
而依題設a≠b,
則(a-b)2>0顯然成立.
由此命題得證.
方法二(綜合法):
a≠ba-b≠0(a-b)2>0a2-2ab+b2>0
a2-ab+b2>ab.
注意到a,b∈(0,+∞),a+b>0,由上式即得
(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).
所以a3+b3>a2b+ab2.
能力提公升
1若a≥0,p=,q=,則p,q的大小關係是( )
>qd.由a的取值確定
解析要比較p,q,只需比較p2=2a+7+2與q2=2a+7+2,只需比較a2+7a與a2+7a+12的大小,顯然前者小.
答案c2要證a2+b2-1-a2b2≤0,只需證明( )
a.2ab-1-a2b2≤0
c. -1-a2b2≤0
d.(a2-1)(b2-1)≥0
解析因為a2+b2-1-a2b2≤0(a2-1)(b2-1)≥0,故選d.
答案d★3已知a,b,μ∈(0,+∞),且=1,則使得a+b≥μ恆成立的μ的取值範圍是 .
解析∵a,b∈(0,+∞),且=1,
∴a+b=(a+b) =10+≥10+2=16,當且僅當b=3a時等號成立.
∴a+b的最小值為16.
∴要使a+b≥μ恆成立,只需16≥μ成立,故0<μ≤16.
答案(0,16]
4若對任意x>0, ≤a恆成立,則a的取值範圍是 .
解析當x>0時, (當且僅當x=1時,取等號),要使≤a恆成立.
只需≤a即可.故a≥.
答案5已知a>0, >1.求證: .
證明要證,
只需證1+a>,
只需證(1+a)(1-b)>1(1-b>0),
即1-b+a-ab>1,
所以a-b>ab.只需證》1,
即》1.
由已知a>0, >1成立,
所以成立.
6已知a>0,用分析法求證: ≥a+-2.
證明要證≥a+-2,
只需證+2≥a+,
又a>0,故只需證,即要證a2++4+4≥a2+2++2+2,只需證2,
只需證4≥2.
即a2+≥2.而此不等式顯然成立,
故原不等式成立.
★7已知2tan a=3tan b.
求證:tan(a-b)= .
分析觀察條件與結論,結論**現二倍角,可把二倍角公式化為單角,再將分式化為整式,同時等式的左邊可用差角正切公式,再結合已知等式消去角a,此時將等式中的常數2化為2(sin2b+cos2b),可以發現等式中兩邊是關於sin b與cos b的二次式,再逆用公式tan b=將弦化為切即可完成證明.
證明因為2tan a=3tan b,
所以tan a=tan b.
要證tan(a-b)= ,
只需證,
只需證,
即證,只需證tan b(2+sin2b)
=(2+3tan2b)sin bcos b,
只需證tan b(2cos2b+3sin2b)
=(2+3tan2b)sin bcos b,
只需證tan b
=(2+3tan2b)·,
即證tan b(2+3tan2b)=(2+3tan2b)tan b.
因為tan b(2+3tan2b)=(2+3tan2b)tan b顯然成立,
所以tan(a-b)= 成立.
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