第二章圓錐曲線與方程
§2.2橢圓
知識梳理
1、橢圓及其標準方程
（1）.橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內動點與兩定點、的距離的和大於||這個條件不可忽視.若這個距離之和小於||，則這樣的點不存在；若距離之和等於||，則動點的軌跡是線段.
（2）.橢圓的標準方程： （＞＞0）
（3）.橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果項的分母大於項的分母，則橢圓的焦點在x軸上，反之，焦點在y軸上.
2、橢圓的簡單幾何性質（＞＞0）.
（1）．橢圓的幾何性質：設橢圓方程, 線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別等於2a和2b，
(2).離心率： 0＜e＜越接近於1時，橢圓越扁；反之，e越接近於0時，橢圓就越接近於圓.
(3)橢圓的焦半徑： ，.=+
(4).橢圓的的內外部點在橢圓的內部
(5).焦點三角形經常利用餘弦定理、三角形面積公式將有關線段、、2c，有關角結合起來，建立、等關係．面積公式：
§2.1.1橢圓及其標準方程
典例剖析
題型一橢圓的定義應用
例1：評析： 點在橢圓上這個條件的轉化常有兩種方法：一是點橢圓的定義，二是點滿足橢圓的方程，應該認真領會橢圓定義
題型二橢圓標準方程的求法
例2：已知橢圓的兩個焦點為（-2，0），（2,0）且過點，求橢圓的標準方程
解法1 因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為，
由橢圓的定義可知：
又所以所求的標準方程為
解法2 ，所以可設所求的方程為，將點代人解得： 所以所求的標準方程為
評析求橢圓的標準方程總結有兩種方法：其一是由定義求出長軸與短軸長，根據條件寫出方程；其二是先確定標準方程的型別，並將其用有關引數表示出來然後結合條件建立所滿足的等式，求得的值，再代人方程
備選題例3：設點p是圓上的任一點，定點d的座標為（8，0），若點m滿足．當點p在圓上運動時，求點m的軌跡方程．
解設點m的座標為，點p的座標為，由，
得，即，．
因為點p在圓上，所以．即，
即，這就是動點m的軌跡方程．
評析本題中的點m與點p相關，我們得到，是關鍵，利用點p在上的條件，進而便求得點m的軌跡方程，此法稱為代人法．
點選雙基
1、．中心在原點，焦點在橫軸上，長軸長為4，短軸長為２，則橢圓方程是（c ）
a. b. c. d.
2 若橢圓的對稱軸為座標軸，長軸長與短軸長的和為，乙個焦點的座標是（3，0），則橢圓的標準方程為（b ）
a b c d
３.與橢圓9x2+4y2=36有相同焦點，且短軸長為4的橢圓方程是(b )
a 翰林匯
4、橢圓的乙個焦點座標是，那麼1
5、橢圓的焦點為，點是橢圓上的乙個點，則橢圓的方程為
解：焦點為，可設橢圓方程為；點在橢圓上，，所以橢圓方程為
課外作業
一、選擇題
1．已知橢圓上的一點到橢圓乙個焦點的距離為，則到另一焦點距離為（d
abc d
2．若橢圓的兩焦點為（－2，0）和（2，0），且橢圓過點，則橢圓方程是 （ d ）
a． b． c． d．
3．若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，則實數k的取值範圍為 （ d ）
a．（0b．（0，2） c．（1d．（0，1）
4．若橢圓的對稱軸為座標軸，長軸長與短軸長的和為，焦距為，則橢圓的方程為（c ）
a． b． c．或 d．以上都不對
5．橢圓的兩個焦點是f1(－1, 0), f2(1, 0)，p為橢圓上一點，且|f1f2|是|pf1|與|pf2|的等差中項，則該橢圓方程是（ c ）。
a ＋＝1 b ＋＝1 c ＋＝1 d ＋＝1
6、橢圓的焦點座標為（c ）
a、 b、 c、 d、
7．已知△abc的頂點b、c在橢圓＋y2＝1上，頂點a是橢圓的乙個焦點，且橢圓的另外乙個焦點在bc邊上，則△abc的周長是 ( c )
（a）2b）6c）4d）12
8．設定點f1（0，－3）、f2（0，3），動點p滿足條件，則點p的軌跡是（a ）
a．橢圓b．線段c．不存在 d．橢圓或線段
二 、填空題
9方程表示焦點在軸的橢圓時，實數的取值範圍是_______
10．與橢圓4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦點,且過點(－3，２)的橢圓方程為________．
11、如果m(x,y)在運動過程中，總滿足關係式，則m的軌跡方程是
三、解答題
12．將圓上的點的橫座標保持不變，縱座標變為原來的一半，求所得曲線的方程，並說明它是什麼曲線．
答案：13．答案：
14．思悟小結
1. 要靈活運用橢圓的定義來解決問題，一般情況下涉及焦點問題則應首先考慮定義。
2. 要求橢圓的標準方程包括「定位」和「定量」兩個方面。「定位」是指確定橢圓與座標系的相對位置，在中心是原點的前提下，確定焦點位於哪條座標軸上，以判斷方程的形式；「定量」是指的與具體數值，常用待定係數法.
當橢圓的焦點位置不明確時，可設方程為，也可以設方程為，避免討論和繁雜的計算
§2.1.2橢圓的簡單的幾何性質（第一課時）
典例剖析
題型一求橢圓的長軸和短軸的長、焦點座標、頂點座標等．
例1 已知橢圓的離心率，求的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點座標、頂點座標．
解把橢圓的方程寫成：，， ，由，得， 橢圓的標準方程為：，故橢圓的長軸長為2，短軸長為1，兩焦點座標分別為，四個頂點座標分別為
評析： 解決此類問題的關鍵是將所給的方程正確地化成橢圓的標準方程，然後判斷焦點在哪個座標軸上，準確的求出a,b，進而求出其他有關性質
題型二橢圓的幾何性質簡單應用
例2 設橢圓的兩個焦點分別為f1、、f2，過f2作橢圓長軸的垂線交橢圓於點p，若△f1pf2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是( )
ab． c． d．
分析利用橢圓的幾何性質和定義
解一設橢圓方程為，依題意，顯然有，則，即，即，解得．選d．
解二 ∵△f1pf2為等腰直角三角形，∴.
∵，∴，∴．故選d．
評析解法一中的是橢圓的通徑，它是橢圓經過焦點的所有弦中最短的一條題型
備選題例3： 橢圓(a>b>0)的左焦點f到過頂點a(-a, 0), b(0,b)的直線的距離等於，求該橢圓的離心率.
解本題條件不易用平面幾何知識轉化，因而過a、b的方程為，左焦點f(-c,0)，則，化簡，得5a2-14ac+8c2=0 得或（舍），
評析： 應熟悉各方程的標準形式及各引數之間的關係和幾何意義.若題面改為「雙曲線(a>b>0)」，則由「a>b>0」這個隱含條件可知離心率e的範圍限制，即a>b>0,∴ a2>b2, ∴a2>c2-a2 從而.
點選雙基
1 中心在原點，焦點在x軸上，焦距等於6，離心率等於，則橢圓的方程是（ c ）
a. b. c. d.
2答案：
3 、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且∠，則δ的面積（ ）
a bcd
4．．橢圓上的點m到焦點f1的距離是2，n是mf1的中點，則|on|為 4
5、若方程(a>0，y≠0)表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍是 m＜－1
課外作業
一、選擇題
1.已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，且長軸長為12，離心率為，則橢圓的方程是(d )
a.+=1 b.+=1 c.+=1 d.+=12
答案 3．橢圓和具有 （ a ）
a．相同的離心率 b．相同的焦點 c．相同的頂點 d．相同的長、短軸
4．若橢圓短軸上的兩頂點與一焦點的連線互相垂直，則離心率等於( b )
abcd.
5. 橢圓上一點與橢圓的兩個焦點、的連線互相垂直，則△的面積為d ）
a 21b 22c 23 d 24
6．橢圓上的點到直線的最大距離是 （d ）
a．3 b． c． d．
7．橢圓兩焦點為 ， ，p在橢圓上，若 △的面積的最大值為12，則橢圓方程為（ b ）
a. b . c . d .
8．過點m（－2，0）的直線m與橢圓交於p1，p2，線段p1p2的中點為p，設直線m的斜率為k1（），直線op的斜率為k2，則k1k2的值為 （ d ）
a．2 b．－2 c． d．－
二 、填空題
9．已知點（0, 1)在橢圓內，則m的取值範圍是 [1, 5)(5,+∞).
10．橢圓的離心率為，則的值為
解：當時，；當時，
11．設是橢圓的不垂直於對稱軸的弦，為的中點，為座標原點，則____．
解：設，則中點，
得，得即
三解答題
12.答案：
13已知橢圓的對稱軸為座標軸，離心率，短軸長為，求橢圓的方程．
解 :由 ，∴橢圓的方程為：或.
14橢圓＞＞與直線交於、兩點，且，其中為座標原點.（1）求的值；（2）若橢圓的離心率滿足≤≤，求橢圓長軸的取值範圍.
解：設，由op ⊥ oq x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又將，代入①化簡得 .
(2) 又由（1）知
，∴長軸 2a ∈ .
思悟小結
1.要準確把握橢圓的標準方程的結構特徵以及「標準」的含義，能從橢圓的標準方程讀出幾何性質，更要能夠利用標準方程解決問題，在解題時要深刻理解橢圓中的幾何量等之間的關係及每個量的本質含義，並能熟練地應用於解題。
高中數學選修2 1第二章圓錐曲線與方程
第二章圓錐曲線與方程 一 基礎知識 理解去記 1 橢圓的定義，第一定義 平面上到兩個定點的距離之和等於定長 大於兩個定點之間的距離 的點的軌跡，即 pf1 pf2 2a 2a f1f2 2c 第二定義 平面上到乙個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同乙個常數e 0 0第三定義 在直角座標平面內給定...
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