課時過關·能力提公升
基礎鞏固
1用數學歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈n*),第一步應驗證 ( )
a.當n=1時,不等式成立
b.當n=2時,不等式成立
c.當n=3時,不等式成立
d.當n=4時,不等式成立
解析由題知n的最小值為3,所以第一步驗證當n=3時,不等式成立,選c.
答案c2已知f(n)=+…+,則( )
共有n項,當n=2時,f(2)=
共有(n+1)項,當n=2時,f(2)=
共有(n2-n)項,當n=2時,f(2)=
共有(n2-n+1)項,當n=2時,f(2)=
解析由題意知f(n)的最後一項的分母為n2,
故f(2)=,排除選項a,選項c.
又f(n)=+…+,
所以f(n)的項數為n2-n+1.
故選d.
答案d3已知n為正偶數,用數學歸納法證明1-+…+=2時,若已假設當n=k(k≥2,且為偶數)時,命題為真,則還需要用歸納假設再證( )
a.當n=k+1時,等式成立
b.當n=k+2時,等式成立
c.當n=2k+2時,等式成立
d.當n=2(k+2)時,等式成立
解析因為假設n=k(k≥2,且為偶數),故下乙個偶數為k+2,故選b.
答案b4用數學歸納法證明不等式1++…+(n∈n*)成立,其初始值至少應取( )
a.7 b.8 c.9 d.10
解析左邊=1++…+=2-,代入驗證可知n的最小值是8.
答案b5用數學歸納法證明1-+…++…+,則當n=k+1時,等式左邊應在n=k的基礎上加上( )
a.b.-
c.d.
解析當n=k時,左邊=1-+…+,當n=k+1時,左邊=1-+…+.
答案c6用數學歸納法證明「當n為正奇數時,xn+yn能被x+y整除」,當第二步假設n=2k-1(k∈n*)命題為真時,進而需證n= 時,命題為真.
解析因為n為正奇數,所以奇數2k-1之後的奇數是2k+1.
答案2k+1
7在用數學歸納法證明「34n+2+52n+1(n∈n*)能被14整除」的過程中,當n=k+1時,式子34(k+1)+2+52(k+1)+1應變形為
答案(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)
8用數學歸納法證明
+…+<1-(n≥2,n∈n*).
分析驗證當n=2時不等式成立→假設當n=k時
不等式成立→
證明當n=k+1時不等式成立→結論
證明(1)當n=2時,左邊=,右邊=1-.
因為,所以不等式成立.
(2)假設當n=k(k≥2,k∈n*)時,不等式成立,
即+…+<1-,
則當n=k+1時,
+…+<1-
=1-=1-<1-
=1-.
所以當n=k+1時,不等式也成立.
綜上所述,對任意n≥2的正整數,不等式都成立.
9用數學歸納法證明1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈n*).
證明(1)當n=1時,左邊=1×4=4,右邊=1×22=4,左邊=右邊,等式成立.
(2)假設當n=k(k∈n*)時等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,
則當n=k+1時,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,
即當n=k+1時等式也成立.
根據(1)和(2),可知等式對任何n∈n*都成立.
能力提公升
1某同學解答「用數學歸納法證明證明:①當n=1時,顯然命題是正確的;②假設當n=k(k≥1,k∈n*)時,有a.從n=k到n=k+1的推理過程中沒有使用歸納假設
b.假設的寫法不正確
c.從n=k到n=k+1的推理不嚴密
d.當n=1時,驗證過程不具體
解析由分析證明過程中的②可知,從n=k到n=k+1的推理過程中沒有使用歸納假設,故該證法不能叫數學歸納法,選a.
答案a2用數學歸納法證明「凸n(n≥3,n∈n*)邊形的內角和公式」時,由n=k到n=k+1增加的是( )
a. b.π c. d.2π
解析如圖,由n=k到n=k+1時,凸n邊形的內角和增加的是∠1+∠2+∠3=π,故選b.
答案b3用數學歸納法證明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1),從n=k到n=k+1,左邊需要增乘的代數式為( )
a.2k+1 b.2(2k+1)
c. d.
解析當n=k時,等式左邊為(k+1)(k+2)·…·(k+k),而當n=k+1時,等式左邊為(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)·(k+3)·…·(k+k+2),前邊少了一項(k+1),後邊多了兩項(k+k+1)(k+k+2),故增乘的代數式為=2(2k+1).
答案b★4某個與正整數有關的命題:若當n=k(k∈n*)時,命題成立,則可以推出當n=k+1時,該命題也成立.現已知當n=5時,命題不成立,則可以推得( )
a.當n=4時,命題不成立
b.當n=6時,命題不成立
c.當n=4時,命題成立
d.當n=6時,命題成立
解析「若n=k時,命題成立,則n=k+1時,該命題也成立」的等價命題是「若n=k+1時,命題不成立,則n=k時,命題也不成立.」故選a.
答案a★5用數學歸納法證明「n3+5n能被6整除」的過程中,當n=k+1時,式子(k+1)3+5(k+1)應變形為
解析採取湊配法,湊出歸納假設k3+5k來,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.
答案(k3+5k)+3k(k+1)+6
6設實數c>0,整數p>1,n∈n*.
(1)用數學歸納法證明:當x>-1,且x≠0時,(1+x)p>1+px;
(2)數列滿足a1>,an+1=an+,證明:an>an+1>.
證明(1)①當p=2時,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.
②假設當p=k(k≥2,k∈n*)時,不等式(1+x)k>1+kx成立.
則當p=k+1時,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.
所以當p=k+1時,原不等式也成立.
綜合①②可得,當x>-1,x≠0時,對一切整數p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.
(2)先用數學歸納法證明an>.
①當n=1時,由題設a1>知an>成立.
②假設當n=k(k≥1,k∈n*)時,不等式ak>成立.
由an+1=an+及a1>>0,易知an>0,n∈n*.則當n=k+1時,
=1+.
由ak>>0,得-1<-<0.
由(1)中的結論得》1+p·.因此》c,即ak+1>.
所以當n=k+1時,不等式an>也成立.
綜合①②可得,對一切正整數n,不等式an>均成立.因此an+1>也成立.
再由=1+可得<1,
即an+1an+1>,n∈n*.
7已知集合x=,yn=(n∈n*),設sn=.令f(n)表示集合sn所含元素的個數.
(1)寫出f(6)的值;
(2)當n≥6時,寫出f(n)的表示式,並用數學歸納法證明.
解(1)f(6)=13.
(2)當n≥6時,
f(n)=(t∈n*).
下面用數學歸納法證明:
①當n=6時,f(6)=6+2+=13,結論成立;
②假設當n=k(k≥6)時結論成立,那麼n=k+1時,sk+1在sk的基礎上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中產生,分以下情形討論:
1)若k+1=6t,則k=6(t-1)+5,此時有
f(k+1)=f(k)+3=k+2++3
=(k+1)+2+,結論成立;
2)若k+1=6t+1,則k=6t,此時有
f(k+1)=f(k)+1=k+2++1
=(k+1)+2+,結論成立;
3)若k+1=6t+2,則k=6t+1,此時有
f(k+1)=f(k)+2=k+2++2
=(k+1)+2+,結論成立;
4)若k+1=6t+3,則k=6t+2,此時有
f(k+1)=f(k)+2=k+2++2
=(k+1)+2+,結論成立;
5)若k+1=6t+4,則k=6t+3,此時有
f(k+1)=f(k)+2=k+2++2
=(k+1)+2+,結論成立;
6)若k+1=6t+5,則k=6t+4,此時有
f(k+1)=f(k)+1=k+2++1
=(k+1)+2+,結論成立.
綜上所述,結論對滿足n≥6的自然數n均成立.
學年高中數學 人教B版,選修2 2 練習 2 1第2課時
第二章 2.1 第2課時 一 選擇題 1 下面幾種推理過程是演繹推理的是 a 兩條直線平行，同旁內角互補，如果 a和 b是兩條平行直線的同旁內角，則 a b 180 b 由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質 c 某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推測各班都超過5...
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