一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1數列2,5,11,20,x,47,…中的x等於( )
a.28 b.32 c.33 d.27
解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得x=32.
答案b2用反證法證明乙個命題時,下列說法正確的是( )
a.將結論與條件同時否定,推出矛盾
b.肯定條件,否定結論,推出矛盾
c.將被否定的結論當條件,經過推理得出的結論只與原題條件矛盾,才是反證法的正確運用
d.將被否定的結論當條件,原題的條件不能當條件
答案b3由「正三角形的內切圓切於三邊的中點」可模擬猜想「正四面體的內切球切於四個面
a.各正三角形內一點
b.各正三角形的某高線上的點
c.各正三角形的中心
d.各正三角形外的某點
解析正三角形的邊對應正四面體的面,即正三角形所在的正四面體的面,所以邊的中點對應的就是正四面體各正三角形的中心.故選c.
答案c4已知c>1,a=,b=,則正確的結論是( )
>b 大小不定
解析∵a=,b=,而,∴a答案b
5下列結論正確的是( )
a.當x>0,且x≠1時,lg x+≥2
b.當x>0時,≥2
c.當x≥2時,x+的最小值為2
d.當0解析選項a錯在lg x的正負不明確;選項c錯在等號成立的條件不存在;根據函式f(x)=x-的單調性,當x=2時,f(x)取最大值,故選項d錯誤.
答案b6觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=( )
a.28 b.76
c.123 d.199
解析利用歸納法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.
規律為從第三組開始,其結果為前兩組結果的和.
答案c7設xi,ai(i=1,2,3)均為正實數,甲、乙兩位同學由命題「若x1+x2=1,則≤()2」分別推理得出了新命題:
甲:若x1+x2+x3=1,則≤()2;
乙:若x1+x2+x3+x4=1,則≤()2.
他們所用的推理方法是( )
a.甲、乙都用演繹推理
b.甲、乙都用模擬推理
c.甲用演繹推理,乙用模擬推理
d.甲用歸納推理,乙用模擬推理
答案b8已知數列的前幾項為,…,則猜想數列的通項公式為( )
解析,…,於是猜想數列的通項公式為an=.
答案c9已知數列的前n項和sn=n2·an(n≥2,n∈n),而a1=1,通過計算a2,a3,a4,猜想an等於( )
a. b.
c. d.
解析∵sn=n2·an(n≥2),a1=1,
∴s2=4a2=a1+a2a2=,
s3=9a3=a1+a2+a3a3=,
s4=16a4=a1+a2+a3+a4a4=.故猜想an=.
答案b10用數學歸納法證明「1++…+1)」時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應增加的項數是( )
a.2k-1 b.2k-1 c.2k d.2k+1
答案c二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)
11已知x,y∈r,且x+y<2,則x,y中至多有乙個大於1,在用反證法證明時,假設應為 .
解析「至多有乙個大於1」包括「都不大於1和有且僅有乙個大於1」,故其對立面為「x,y都大於1」.
答案x,y都大於1
12觀察數列,3,,3,…,寫出該數列的乙個通項公式為
解析將各項統一寫成根式形式為,…即,…,被開方數是正奇數的3倍,故an=(n∈n*).
答案an=(n∈n*)
13以下是對命題「若兩個正實數a1,a2滿足=1,則a1+a2≤」的證明過程:
證明:建構函式f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因為對一切實數x,恒有f(x)≥0,所以δ≤0,從而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.
根據上述證明方法,若n個正實數滿足+…+=1,你能得到的結論為 (不必證明).
解析依題意,建構函式f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2,
則有f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1,δ=-4n=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0,
即有a1+a2+…+an≤.
答案a1+a2+…+an≤
14若等差數列的前n項之和為sn,則s4,s8-s4,s12-s8,s16-s12成等差數列.模擬以上結論有:若等比數列的前n項之積為tn,則t4成等比數列.
解析本題是數列與模擬推理相結合的問題,既考查了等差數列與等比數列的知識,又考查了通過已知條件進行模擬推理的方法和能力.
答案15設c1,c2,c3,…為一組圓,其作法如下:c1是半徑為a的圓,在c1的圓內作四個相等的圓c2(如圖),每個圓c2和圓c1都內切,且相鄰的兩個圓c2均外切;在c2的每乙個圓中,用同樣的方法作四個相等的圓c3,依此類推作出c4,c5,c6,….
(1)其中c2中每個圓的半徑長等於 (用a表示);
(2)猜想cn中每個圓的半徑長為 (用a表示,不必證明).
答案(-1)a (-1)n-1a
三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16(8分)若x,y>0,且x+y>2,求證:<2和<2中至少有乙個成立.
證明假設≥2,且≥2,則1+x≥2y,1+y≥2x,所以(1+x)+(1+y)≥2y+2x,即x+y≤2,與題設矛盾.故假設不成立,原命題成立.
17(8分)已知命題「若數列是等比數列,且an>0,則數列,bn=(n∈n*)也是等比數列」.模擬這一性質,你能得到關於等差數列的乙個什麼性質?並證明你的結論.
解模擬等比數列的性質,可以得到等差數列的乙個性質是:若數列是等差數列,則數列,bn=也是等差數列.證明如下:
設等差數列的公差為d,則bn==a1+(n-1),所以數列是以a1為首項,為公差的等差數列.
18(9分)設n∈n*,xn是曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫座標.
(1)求數列的通項公式;
(2)記tn=,證明:tn≥.
(1)解y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線斜率為2n+2,
從而切線方程為y-2=(2n+2)(x-1).
令y=0,解得切線與x軸交點的橫座標xn=1-.
(2)證明由題設和(1)中的計算結果知
tn=.
當n=1時,t1=.
當n≥2時,因為,
所以tn>×…×.
綜上可得對任意的n∈n*,均有tn≥.
19(10分)如圖,設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為f,經過點f的直線交拋物線於a,b兩點,點c在拋物線的準線上,且bc∥x軸.求證:直線ac經過原點o.
證明因為拋物線y2=2px(p>0)的焦點為f,
所以經過點f的直線ab的方程可設為x=my+,代入拋物線方程,可得y2-2pmy-p2=0.
設a(x1,y1),b(x2,y2),
則y1,y2是該方程的兩個根,
所以y1y2=-p2.
因為bc∥x軸,且點c在準線x=-上,
所以點c的座標是,
故直線co的斜率為k=,
即k也是直線oa的斜率.故直線ac經過原點o.
20(10分)設f(n)=1++…+,問是否存在關於自然數n的函式g(n)使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)·[f(n)-1]對於n≥2的一切自然數都成立?若存在,證明你的結論.
解當n=2時,由f(1)=g(2)·[f(2)-1],
得g(2)==2,
當n=3時,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)-1],
得g(3)==3,
猜想g(n)=n(n≥2).
下面用數學歸納法證明:當n≥2時,等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1]恆成立.
①當n=2時,由上面計算知,等式成立.
②假設當n=k時,f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1]恆成立.
則當n=k+1時,f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)·-k=(k+1)[f(k+1)-1],
所以當n=k+1時,等式也成立.
由①②知,對一切n≥2的自然數n,等式都成立,
故存在函式g(n)=n,使等式成立.
學年高中數學 人教B版,選修2 2 練習 2 1第2課時
第二章 2.1 第2課時 一 選擇題 1 下面幾種推理過程是演繹推理的是 a 兩條直線平行，同旁內角互補，如果 a和 b是兩條平行直線的同旁內角，則 a b 180 b 由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質 c 某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推測各班都超過5...
高中數學人教A版選修2 2習題 第二章推理與證明
課時過關 能力提公升 基礎鞏固 1用數學歸納法證明3n n3 n 3,n n 第一步應驗證 a.當n 1時,不等式成立 b.當n 2時,不等式成立 c.當n 3時,不等式成立 d.當n 4時,不等式成立 解析由題知n的最小值為3,所以第一步驗證當n 3時,不等式成立,選c.答案c2已知f n 則 共...
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