一、選擇題
1．用數學歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈n*)，第一步驗證( )
a．n＝1 b．n＝2
c．n＝3 d．n＝4
【解析】 由題知，n的最小值為3，所以第一步驗證n＝3是否成立．
【答案】 c
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則( )
a．f(n)共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋
b．f(n)共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋
c．f(n)共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋
d．f(n)共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋
【解析】 結合f(n)中各項的特徵可知，分子均為1，分母為n，n＋1，…，n2的連續自然數共有n2－n＋1個，且f(2)＝＋＋.
【答案】 d
3．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1(n∈n*)時，等式左邊應在n＝k的基礎上加上( )
a．k2＋1
b．(k＋1)2
c. d．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
【解析】 當n＝k時，等式左邊＝1＋2＋…＋k2，當n＝k＋1時，等式左邊＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故選d.
【答案】 d
4．設f(x)是定義在正整數集上的函式，且f(x)滿足：「當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立」，那麼，下列命題總成立的是( )
a．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立
b．若f(5)≥25成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立
c．若f(7)<49成立，則當k≥8時，均有f(k)d．若f(4)＝25成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立
【解析】 對於a，若f(3)≥9成立，由題意只可得出當k≥3時，均有f(k)≥k2成立，故a錯；對於b，若f(5)≥25成立，則當k≥5時均有f(k)≥k2成立，故b錯；對於c，應改為「若f(7)≥49成立，則當k≥7時，均有f(k)≥k2成立．」
【答案】 d
5．已知命題1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其證明：
(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假設n＝k(k≥1，k∈n*)時等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1時等式也成立．
由(1)(2)知，對任意的正整數n等式都成立．判斷以上評述( )
a．命題、推理都正確 b．命題正確、推理不正確
c．命題不正確、推理正確 d．命題、推理都不正確
【解析】 推理不正確，錯在證明n＝k＋1時，沒有用到假設n＝k的結論，命題由等比數列求和公式知正確，故選b.
【答案】 b
二、填空題
6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關係式是
【解析】 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
【答案】 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
7．用數學歸納法證明：＋＋…＋>－.假設n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應推證的目標不等式是
【解析】 當n＝k＋1時，目標不等式為：＋＋…＋＋>－.
【答案】 ＋＋…＋＋>－
8．用數學歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時，由n＝k的假設到證明n＝k＋1時，等式左邊應新增的式子是
【解析】 當n＝k時，左邊＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
當n＝k＋1時，左邊＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左邊新增的式子為(k＋1)2＋k2.
【答案】 (k＋1)2＋k2
三、解答題
9．用數學歸納法證明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈n*)．
【解】 (1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立．
(2)假設當n＝k(k≥1)時，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那麼，當n＝k＋1時，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
這就是說，當n＝k＋1時等式成立．
根據(1)和(2)可知等式對任意正整數n都成立．
10．用數學歸納法證明：1＋＋＋…＋1)．
【證明】 (1)當n＝2時，左邊＝1＋＋，右邊＝2，左邊《右邊，不等式成立．
(2)假設當n＝k時，不等式成立，即1＋＋＋…＋由(1)和(2)知，對於任意大於1的正整數n，不等式均成立．
[能力提公升]
1．用數學歸納法證明「當n為正奇數時，xn＋yn能被x＋y整除」，第二步歸納假設應寫成( )
a．假設n＝2k＋1(k∈n*)時正確，再推n＝2k＋3時正確
b．假設n＝2k－1(k∈n*)時正確，再推n＝2k＋1時正確
c．假設n＝k(k∈n*)時正確，再推n＝k＋1時正確
d．假設n＝k(k∈n*)時正確，再推n＝k＋2時正確
【解析】 ∵n為正奇數，∴在證明時，歸納假設應寫成：
假設n＝2k－1(k∈n*)時正確，再推出n＝2k＋1時正確．故選b.
【答案】 b
2．對於不等式≤n＋1(n∈n*)，某學生的證明過程如下：
(1)當n＝1時，≤1＋1，不等式成立；
(2)假設當n＝k(k∈n*)時，不等式成立，即≤k＋1，則當n＝k＋1時，＝<＝
＝(k＋1)＋1，所以當n＝k＋1時，不等式成立．
上述證法( )
a．過程全都正確
b．n＝1驗證不正確
c．歸納假設不正確
d．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
【解析】 n＝1的驗證及歸納假設都正確，但從n＝k到n＝k＋1的推理中沒有使用歸納假設，而是通過不等式的放縮法直接證明，這不符合數學歸納法的證題要求．故選d.
【答案】 d
3．證明凸n邊形內角和為f(n)＝(n－2)×180°(n≥3)．假設n＝k(k∈n*且k≥3)時，等式成立，而f(k)＝(k－2)×180°，那麼當n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k
【解析】 從凸n邊形到n＋1邊形多了乙個內角，所以由n邊形內角和f(k)到n＋1邊形內角和f(k＋1)之間的關係為f(k＋1)＝f(k)＋180°.
【答案】 180°
4．設函式y＝f(x)對任意實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的條件下，猜想f(n)(n∈n*)的表示式，並用數學歸納法加以證明．
【解】 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，下面用數學歸納法證明．
當n＝1時，f(1)＝1滿足條件．
假設當n＝k(k∈n*)時成立，即f(k)＝k2，則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，從而可得當n＝k＋1時滿足條件，所以對任意的正整數n，都有f(n)＝n2.
高二數學 選修2 2 單元檢測
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