1.2餘弦定理（教學設計）
教學目標
1．知識與技能:掌握餘弦定理的兩種表示形式及證明餘弦定理的向量方法，並會運用餘弦定理解決兩類基本的解三角形問題。
2.過程與方法:利用向量的數量積推出餘弦定理及其推論，並通過實踐演算掌握運用餘弦定理解決兩類基本的解三角形問題，
3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函式、餘弦定理、向量的數量積等知識間的關係，來理解事物之間的普遍聯絡與辯證統一。
教學重、難點
重點：餘弦定理的發現和證明過程及其基本應用；
難點：勾股定理在餘弦定理的發現和證明過程中的作用。
學法學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數量積比較容易地證明了餘弦定理。從而利用餘弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角
教學過程：
一、創設情景c
如圖1．1-4，在abc中，設bc=a,ac=b,ab=c,
已知a,b和c，求邊cba
a c b
(圖1．1-4)
二、新課講解：
聯絡已經學過的知識和方法，可用什麼途徑來解決這個問題？
用正弦定理試求，發現因a、b均未知，所以較難求邊c。
由於涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題a
如圖1．1-5，設，，，那麼，則
cb 從而圖1．1-5)
同理可證
於是得到以下定理
餘弦定理：三角形中任何一邊的平方等於其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即
思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？
（由學生推出）從餘弦定理，又可得到以下推論：
[理解定理]
從而知餘弦定理及其推論的基本作用為：
①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；
②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關係，餘弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關係，如何看這兩個定理之間的關係？
（由學生總結）若abc中，c=，則，這時
由此可知餘弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是餘弦定理的特例。
例題選講：
例1．在abc中，已知，，，求b及a
⑴解：∵
=cos==
∴求可以利用餘弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴解法二：∵sin
又∵＞＜
∴＜，即＜＜
∴評述：解法二應注意確定a的取值範圍。
變式訓練1：(tb4800601)在abc中，若b=4,c=6，a=600，求a的值。
（答：2）
例2（課本p7例4）在abc中，已知，，，解三角形
解：由餘弦定理的推論得：
cos；cos
；變式訓練2：在abc中，若，求角a
（答案：a=120）
例3：在△abc中，bcosa＝acosb試判斷三角形的形狀
解法一：利用餘弦定理將角化為邊
∵bcosa＝acosb ,∴b·
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2 ,∴a2＝b2 ,∴a＝b，故此三角形是等腰三角形
解法二：利用正弦定理將邊轉化為角 ∵bcosa＝acosb
又b＝2ｒsinb，a＝2ｒsina ，∴2ｒsinbcosa＝2ｒsinacosb
∴sinacosb－cosasinb＝0 ∴sin（a－b）＝0
∵0＜a，b＜π，∴－π＜a－b＜π ，∴a－b＝0 即a＝b
故此三角形是等腰三角形
變式訓練3：在abc中，已知，，，判斷abc的型別。
解：，即，cos<0,角a為鈍角.
所以.三、課堂小結
（1）餘弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是餘弦定理的特例；
（2）餘弦定理的應用範圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。
四、課時必記：
餘弦定理：三角形中任何一邊的平方等於其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即
五、分層作業：
a組：1、在△abc中，若a2＞b2+c2，則△abc為_______；若a2=b2+c2，則△abc為若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，則△abc為答：鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形）
2、(tb4800603) 在abc中，已知：(a+b+c)(a+b-c)=3ab，則角c=_______
(答：600)
3、(tb0146901)在abc中，已知a=7，b=3，c=5，求最大角和sinc。
（答：最大角為：a=1200，sinc=）
4、(tb0146902)在abc中，b=300，ab=2，面積s=，求ac的長。
（答：先求得bc=2，再求得ac=2）
b組：1、在△abc中，已知sinb·sinc＝cos2，試判斷此三角形的型別
解：∵sinb·sinc＝cos2, ∴sinb·sinc＝
∴2sinb·sinc＝1＋cos［180°－（b＋c）］
將cos（b＋c）＝cosbcosc－sinbsinc代入上式得
cosbcosc＋sinbsinc＝1, ∴cos（b－c）＝1
又0＜b，c＜π，∴－π＜b－c＜π ∴b－c＝0 ∴b＝c
故此三角形是等腰三角形
2、(tb0146903)在abc中，，試判斷這個三角形的形狀。
（答：化弦化簡，三角形為等腰三角形或直角三角形）
c組：1、(tb0147004)已知：k是整數，鈍角abc的三內角a、b、c所對的邊分別為a、b、c。
（1） 若方程組有實數解，求k值。
（2） 對於（1）中k值，若sinc=，且有關係式(c-b)sin2a+bsin2b=csin2c，試求a、b、c的度數。
（答：（1）消去y對判別式判斷：，所以得k=1,2,3；（2）先求得c=450或1350，再求得b=450或1350，但是c=1350不合捨去，所以求得a=1200，c=450，b=150）
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