年級：高二輔導科目：數學課時數：3課題
等比數列二
1、掌握等比數列的定義，會求等比中項；
2、掌握等比數列的通項公式，前n項和的求和公式；
教學內容
教學目的
【知識梳理】
1、定義：數列從第2項起，每一項與它前一項的比等於同乙個常數的數列稱作等比數列。常數叫公比。
n－12、通項公式：an=a1q
n－m推廣形式：an=amq變式：（1）q=nm
an*（n、m∈n）am
na1(q1),
3、前n項和sn=a1(1qn)a1anq
1q1q
(q1).
4、等比中項：若a、b、c成等比數列，則b為a、c的等比中項，且b=±ac。5、等比數列的性質
2a.當m+n=p+q時，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=…，當2n=p+q時，an=apaq;
12k0b.,bn為等比數列，數列，（）,an,,an,manbn(m0)成等比數列;
an成等比數列；
6、證明等比數列的方法：（1）用定義：只需證
an1=常數；an
2（2）用中項性質：只需an+1=an·an+2或
an1an2
=anan1
（3）當乙個數列的通項形如anam***這種形式的時候，可以判定是等比數列（只能在客觀題中應用）（4）當乙個數列的求和公式形如snaaqn這種形式的時候，可以判定是等比數列（只能在客觀題中應用）
【典型例題分析】
例1、求下列各等比數列的通項公式：（1）a1=2,a3=8
解：a3a1qq24q2（2）a1=5,且2an+1=3an解：q
an(2)2n12n或an(2)(2)n1(2)n
an13
an23
又：a15an5()n1
2（3）a1=5,且
an1n
ann1
a32an1
,,na23an1n
解：an1an1
2,ann1a12
13a1nn
以上各式相乘得：an變式練習：
1、在等比數列an，已知a15，a9a10100，求a18。解：∵a1a18a9a10，∴a18
a9a10100
20a15
2、在等比數列bn中，b43，求該數列前七項之積。解：bb12b3b4b5b6b7bb17b2b6b3b5b4∵b42bb17b2b6b3b5，∴前七項之積3
233372187
3、在等比數列an中，a22，a554，求a8，解：a8a5qa5
3a554
541458a22
另解：∵a5是a2與a8的等比中項，∴542a82∴a81458例2、求數列的前n項和sn=
1352n1
+++┄+n2482
（該題主要考查了學生對數列求和的掌握情況）
練習：１.求和
1111
132435n(n2)
例3、已知等比數列的通項公式an3()
證：∵an3()
12n1
且：bna3n2a3n1a3n，求證：成gp
12n1
∴bna3n2a3n1a3n3()
13n311
3()3n23()3n1222
111211
3()3n3(1)()3n3
22442
∴bn11
()3∴成gpbn2
變式練習：已知數列中，a1=2且an+1=sn，求an,sn
解：∵an+1=sn又∵an+1=sn+1sn∴sn+1=2sn
n1n∴是公比為2的等比數列，其首項為s1=a1=2,∴s1=a1×2=2
2(n1)
∴當n≥2時,an=snsn1=2∴ann1
2(n2)
n1例4、在等比數列an中，a1a336,a2a460,sn400，求n的範圍。解：∵a1a3a12q236，∴a1q6
2又∵a2a4a1q1q60，且1q20，∴a1q0，
∴a1q6,1q210解之：
a12a12
或q3q3
當a12,q3時，sn56
a11qn1q
23n12
4003n401，∴n6
（∵32733729）
當a12,q3時，sn∵nn且必須為偶數*32
4n14003n801，
∴n8，（∵32187,36561）注意：本題要進行分類討論
例5、是否存在數等比列，其前項和sn組成的數列也是等比數列，且公比相同？解：設等比數列的公比為q，如果是公比為q的等比數列，則：
78sns1qn1a1qn1
na1而sna1(1qn)
1qq1q1
∴q1時,
s(n1)a1n1
sna1qn1na1即：n1q1得n1n(矛盾)
snna1nn1n
sn11qn1a（11q）即：qq1(矛盾)n
1qsn1q
q1時,sna1q
所以，這樣的等比數列不存在。
例6、（1）已知數列cn，其中cn2n3n，且數列cn1pcn為等比數列，求常數p。
（2）設an,bn是公比不相等的兩個等比數列，cnanbn，證明數列cn不是等比數列。
說明：題（1）主要說明若已知某數列是等比數列，如何求未知引數的值，在解決這類問題時，要注意一般與特殊的
關係；（2）主要說明怎樣證明乙個數列不是等比數列。【答案】（1）p2,p3
（2）設an,bn的公比分別是p,q(pq)，則有
2c2c1c3(a1pb1q)2(a1p2b1q2)a1b1(pq)20(pq)
2c2c1c3,，即數列cn不是等比數列
例7、已知數列an中sn是其前n項和，並且sn14an2n1,2，a11（1）設數列bnan12ann1,2,，求證：數列bn是等比數列；（2）設數列cn
an,n1,2,,求證：數列cn是等差數列；2n
（3）求數列an的通項公式及前n項和。
【答案】（1）由sn14a22,sn24an12，兩式相減得sn2sn14an1an即an24an14an
an22an12an1an,又bnan12an所以bn12bn①已知s24a12,a11，a1a24a12，解得a25,b1a22a13②由①和②得，數列bn是首項為3，公比為2的等比數列，故bn32n1
anan1anan12anbn32n13
n1n1（2）因為cnnnn，所以cn1cnn1n
2222n1422
又c1a111331,故數列cn是首項為，公差是的等差數列，cnn222444
（3）sn2n13n42
【課堂小練】
1、三數成gp，若將第三數減去32，則成ap，若將該等差數列中項減去4，以成gp，求原三數。（2，10，50或
22638
,,）999
2、乙個等比數列前n項的和為sn48,前2n項之和s2n60，求s3n。（63）
3、在等比數列中，已知：a34,s636，求an。答案：
1n127
【課堂總結】
1、等比數列的定義是什麼？
2、等比數列的通項公式？求和公式？3、等比數列有哪些性質？
【課後練習】
1、等比數列an中，an0，a3a44，則log2a1log2a2log2a6值為（b）
a．5b．6
c．7d．8
（c）2、設等比數列的前n項和為sn，若s6:s31:2，則s9:s3
a．1:2b．2:3c．3:4d．1:3
3、已知等比數列的首項為8，sn是其前n項的和，某同學經計算得s2=20，s3=36，s4=65，後來該同學發現了其中乙個數算錯了，則該數為a．s1b．s2c．s3
*2、在等比數列（nn）中，若a11，a4
d．s4
（c）1
，則該數列的前10項和為（b）8
1111
a.24b.29c.210d.211
2222
23、已知a、b、c、d成等比數列，且曲線yx2x3的頂點是b,c，則ad等於（b）a.3b.2c.1d.2
4、若是等比數列，且sn3nr，則r＝＿＿—1＿。
5、已知等比數列an中，公比q2，且a1a2a3a30230，那麼a3a6a9a30等於
（b）a．2b．2c．2d．2
1020
1615
6、在等比數列an中，a7a116,a4a145，則
a20等於a10
（a）a．
231123或b．或－c．d．323232
*7、數列an中，an0,且anan1是公比為qq0的等比數列，滿足anan1an1an2an2an3nn，則
公比q的取值範圍是
a．0q
（d）12151215
b．0qc．0qd．0q2222
*8、已知數列an是等比數列,且an>0,nn,a3a52a4a6a5a781，則a4a69
9、等比數列an的前n項和sn=a2a2，則an=_____
n2n1__.
10、已知等比數列及等差數列，其中b10，公差d0．將這兩個數列的對應項相加，得一新數列1，1，2，…，
則這個新數列的前10項之和為978.
11、如果b是a與c的等差中項，y是x與z的等比中項，且y,x,z都是正數，則
(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz0（m0,m1）
12、已知數列,滿足a12,a24,bnan1an,bn12bn2.（1）求證：數列是公比為2的等比數列；
（2）求an.
【答案】（1）bn12bn2
bn12
2bn2
bn2是公比為2的等比數列（2）bn2b12q
n142n12n1
bn2n12又an1anbnanan1bn12n2an1an2bn22n12……a2a1b1222
所有式子相加得，ana12n12n2所以，an2n12n13、已知數列an的前n項和為sn,sn
（1）求a1,a2；
1(an1)(nn).3
（2）求證數列an是等比數列.
11a11a1，所以a132
11由n2，可得出s2a21a1a2，所以a2
34【答案】（1）由n1，可得s1（2）snsn1
1a1anan1ann3an12
n2sn（n＝1，2，3，…）.n
14、數列的前n項和記為sn，已知a1＝1，an＋1＝證明：（1）數列是等比數列；（2）sn＋1＝
n2snnsn12n1sn【答案】（1）sn1snan1n
sn是等比數列n
(2)15、已知數列滿足：a1（1）求a2,a3，a4;
16、設數列an前n項之和為sn，若s11,s22且sn13sn2sn10n2，問：數列an成gp嗎？
解：∵sn13sn2sn10，∴sn1sn2snsn10，即an12an0
sn2nsnn2nansnsn1n12n1而sn1n12n14n12n14ann
11,且anan1n.22
（2）求數列的通項an
即：an1
2n2，∴an成gpn2an
a22，a1
1n1。n1
n22又：a1s11,a2s2s11,
∴an不成gp，但n2時成gp，即：an
數學高二 上 滬教版 等比數列 一 學生版
年級 高二輔導科目 數學課時數 3課題 等比數列 1 掌握等比數列的定義，會求等比中項 2 掌握等比數列的通項公式，前n項和的求和公式 教學內容 教學目的 知識點回顧 1.定義 an1q 常數q為公比 nn 注意隱含條件 an0,q0 an 2.通項公式 ana1qn1推廣 anamqnm 3.等比...
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