年級:高二輔導科目:數學課時數:3課題
等比數列二
1、掌握等比數列的定義,會求等比中項;
2、掌握等比數列的通項公式,前n項和的求和公式;
教學內容
教學目的
【知識梳理】
1、定義:數列從第2項起,每一項與它前一項的比等於同乙個常數的數列稱作等比數列。常數叫公比。
n-12、通項公式:an=a1q
n-m推廣形式:an=amq變式:(1)q=nm
an*(n、m∈n)am
na1(q1),
3、前n項和sn=a1(1qn)a1anq
1q1q
(q1).
4、等比中項:若a、b、c成等比數列,則b為a、c的等比中項,且b=±ac。5、等比數列的性質
2a.當m+n=p+q時,aman=apaq,特例:a1an=a2an-1=a3an-2=…,當2n=p+q時,an=apaq;
12k0b.,bn為等比數列,數列,(),an,,an,manbn(m0)成等比數列;
an成等比數列;
6、證明等比數列的方法:(1)用定義:只需證
an1=常數;an
2(2)用中項性質:只需an+1=an·an+2或
an1an2
=anan1
(3)當乙個數列的通項形如anam***這種形式的時候,可以判定是等比數列(只能在客觀題中應用)(4)當乙個數列的求和公式形如snaaqn這種形式的時候,可以判定是等比數列(只能在客觀題中應用)
【典型例題分析】
例1、求下列各等比數列的通項公式:(1)a1=2,a3=8
解:a3a1qq24q2(2)a1=5,且2an+1=3an解:q
an(2)2n12n或an(2)(2)n1(2)n
an13
an23
又:a15an5()n1
2(3)a1=5,且
an1n
ann1
a32an1
,,na23an1n
解:an1an1
2,ann1a12
13a1nn
以上各式相乘得:an變式練習:
1、在等比數列an,已知a15,a9a10100,求a18。解:∵a1a18a9a10,∴a18
a9a10100
20a15
2、在等比數列bn中,b43,求該數列前七項之積。解:bb12b3b4b5b6b7bb17b2b6b3b5b4∵b42bb17b2b6b3b5,∴前七項之積3
233372187
3、在等比數列an中,a22,a554,求a8,解:a8a5qa5
3a554
541458a22
另解:∵a5是a2與a8的等比中項,∴542a82∴a81458例2、求數列的前n項和sn=
1352n1
+++┄+n2482
(該題主要考查了學生對數列求和的掌握情況)
練習:1.求和
1111
132435n(n2)
例3、已知等比數列的通項公式an3()
證:∵an3()
12n1
且:bna3n2a3n1a3n,求證:成gp
12n1
∴bna3n2a3n1a3n3()
13n311
3()3n23()3n1222
111211
3()3n3(1)()3n3
22442
∴bn11
()3∴成gpbn2
變式練習:已知數列中,a1=2且an+1=sn,求an,sn
解:∵an+1=sn又∵an+1=sn+1sn∴sn+1=2sn
n1n∴是公比為2的等比數列,其首項為s1=a1=2,∴s1=a1×2=2
2(n1)
∴當n≥2時,an=snsn1=2∴ann1
2(n2)
n1例4、在等比數列an中,a1a336,a2a460,sn400,求n的範圍。解:∵a1a3a12q236,∴a1q6
2又∵a2a4a1q1q60,且1q20,∴a1q0,
∴a1q6,1q210解之:
a12a12
或q3q3
當a12,q3時,sn56
a11qn1q
23n12
4003n401,∴n6
(∵32733729)
當a12,q3時,sn∵nn且必須為偶數*32
4n14003n801,
∴n8,(∵32187,36561)注意:本題要進行分類討論
例5、是否存在數等比列,其前項和sn組成的數列也是等比數列,且公比相同?解:設等比數列的公比為q,如果是公比為q的等比數列,則:
78sns1qn1a1qn1
na1而sna1(1qn)
1qq1q1
∴q1時,
s(n1)a1n1
sna1qn1na1即:n1q1得n1n(矛盾)
snna1nn1n
sn11qn1a(11q)即:qq1(矛盾)n
1qsn1q
q1時,sna1q
所以,這樣的等比數列不存在。
例6、(1)已知數列cn,其中cn2n3n,且數列cn1pcn為等比數列,求常數p。
(2)設an,bn是公比不相等的兩個等比數列,cnanbn,證明數列cn不是等比數列。
說明:題(1)主要說明若已知某數列是等比數列,如何求未知引數的值,在解決這類問題時,要注意一般與特殊的
關係;(2)主要說明怎樣證明乙個數列不是等比數列。【答案】(1)p2,p3
(2)設an,bn的公比分別是p,q(pq),則有
2c2c1c3(a1pb1q)2(a1p2b1q2)a1b1(pq)20(pq)
2c2c1c3,,即數列cn不是等比數列
例7、已知數列an中sn是其前n項和,並且sn14an2n1,2,a11(1)設數列bnan12ann1,2,,求證:數列bn是等比數列;(2)設數列cn
an,n1,2,,求證:數列cn是等差數列;2n
(3)求數列an的通項公式及前n項和。
【答案】(1)由sn14a22,sn24an12,兩式相減得sn2sn14an1an即an24an14an
an22an12an1an,又bnan12an所以bn12bn①已知s24a12,a11,a1a24a12,解得a25,b1a22a13②由①和②得,數列bn是首項為3,公比為2的等比數列,故bn32n1
anan1anan12anbn32n13
n1n1(2)因為cnnnn,所以cn1cnn1n
2222n1422
又c1a111331,故數列cn是首項為,公差是的等差數列,cnn222444
(3)sn2n13n42
【課堂小練】
1、三數成gp,若將第三數減去32,則成ap,若將該等差數列中項減去4,以成gp,求原三數。(2,10,50或
22638
,,)999
2、乙個等比數列前n項的和為sn48,前2n項之和s2n60,求s3n。(63)
3、在等比數列中,已知:a34,s636,求an。答案:
1n127
【課堂總結】
1、等比數列的定義是什麼?
2、等比數列的通項公式?求和公式?3、等比數列有哪些性質?
【課後練習】
1、等比數列an中,an0,a3a44,則log2a1log2a2log2a6值為(b)
a.5b.6
c.7d.8
(c)2、設等比數列的前n項和為sn,若s6:s31:2,則s9:s3
a.1:2b.2:3c.3:4d.1:3
3、已知等比數列的首項為8,sn是其前n項的和,某同學經計算得s2=20,s3=36,s4=65,後來該同學發現了其中乙個數算錯了,則該數為a.s1b.s2c.s3
*2、在等比數列(nn)中,若a11,a4
d.s4
(c)1
,則該數列的前10項和為(b)8
1111
a.24b.29c.210d.211
2222
23、已知a、b、c、d成等比數列,且曲線yx2x3的頂點是b,c,則ad等於(b)a.3b.2c.1d.2
4、若是等比數列,且sn3nr,則r=__—1_。
5、已知等比數列an中,公比q2,且a1a2a3a30230,那麼a3a6a9a30等於
(b)a.2b.2c.2d.2
1020
1615
6、在等比數列an中,a7a116,a4a145,則
a20等於a10
(a)a.
231123或b.或-c.d.323232
*7、數列an中,an0,且anan1是公比為qq0的等比數列,滿足anan1an1an2an2an3nn,則
公比q的取值範圍是
a.0q
(d)12151215
b.0qc.0qd.0q2222
*8、已知數列an是等比數列,且an>0,nn,a3a52a4a6a5a781,則a4a69
9、等比數列an的前n項和sn=a2a2,則an=_____
n2n1__.
10、已知等比數列及等差數列,其中b10,公差d0.將這兩個數列的對應項相加,得一新數列1,1,2,…,
則這個新數列的前10項之和為978.
11、如果b是a與c的等差中項,y是x與z的等比中項,且y,x,z都是正數,則
(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz0(m0,m1)
12、已知數列,滿足a12,a24,bnan1an,bn12bn2.(1)求證:數列是公比為2的等比數列;
(2)求an.
【答案】(1)bn12bn2
bn12
2bn2
bn2是公比為2的等比數列(2)bn2b12q
n142n12n1
bn2n12又an1anbnanan1bn12n2an1an2bn22n12……a2a1b1222
所有式子相加得,ana12n12n2所以,an2n12n13、已知數列an的前n項和為sn,sn
(1)求a1,a2;
1(an1)(nn).3
(2)求證數列an是等比數列.
11a11a1,所以a132
11由n2,可得出s2a21a1a2,所以a2
34【答案】(1)由n1,可得s1(2)snsn1
1a1anan1ann3an12
n2sn(n=1,2,3,…).n
14、數列的前n項和記為sn,已知a1=1,an+1=證明:(1)數列是等比數列;(2)sn+1=
n2snnsn12n1sn【答案】(1)sn1snan1n
sn是等比數列n
(2)15、已知數列滿足:a1(1)求a2,a3,a4;
16、設數列an前n項之和為sn,若s11,s22且sn13sn2sn10n2,問:數列an成gp嗎?
解:∵sn13sn2sn10,∴sn1sn2snsn10,即an12an0
sn2nsnn2nansnsn1n12n1而sn1n12n14n12n14ann
11,且anan1n.22
(2)求數列的通項an
即:an1
2n2,∴an成gpn2an
a22,a1
1n1。n1
n22又:a1s11,a2s2s11,
∴an不成gp,但n2時成gp,即:an
數學高二 上 滬教版 等比數列 一 學生版
年級 高二輔導科目 數學課時數 3課題 等比數列 1 掌握等比數列的定義,會求等比中項 2 掌握等比數列的通項公式,前n項和的求和公式 教學內容 教學目的 知識點回顧 1.定義 an1q 常數q為公比 nn 注意隱含條件 an0,q0 an 2.通項公式 ana1qn1推廣 anamqnm 3.等比...
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