2．3.1 等比數列
整體設計
教學分析
等比數列與等差數列在內容上是完全平行的，包括定義、性質、通項公式等，兩個數的等差(等比)中項、兩種數列在函式角度下的解釋等，因此在教學時要充分利用模擬的方法，以便於弄清它們之間的聯絡與區別．
等比數列是另乙個簡單常見的數列，研究內容可與等差數列模擬，這是本節的中心思想方法．本節首先歸納出等比數列的定義，匯出通項公式，進而研究圖象，又給出等比中項的概念，最後是通項公式的應用．
等比數列概念的引入，可按教材給出的幾個具體的例子，由學生概括這些數列的相同特徵，從而得到等比數列的定義．也可將幾個等差數列和幾個等比數列混在一起給出，由學生將這些數列進行分類，由此對比地概括等比數列的定義．根據定義讓學生分析等比數列的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解．啟發學生用函式觀點認識通項公式，由通項公式的結構特徵聯想到指數函式進而畫出數列的圖象．
由於有了等差數列的研究經驗，等比數列的研究完全可以放手讓學生自己解決，充分利用模擬思想，教師只需把握課堂的節奏，真正作為一節課的組織者、引導者出現，充分發揮學生的主體作用．
大量的數學思想方法滲透是本章的特色，如模擬思想、歸納思想、數形結合思想、演算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教學中要充分體現這些重要的數學思想方法，所有能力的體現最終歸結為數學思想方法的體現．
三維目標
1．通過例項，理解等比數列的概念；探索並掌握等比數列的通項公式、性質，能在具體的問題情境中，發現數列的等比關係，提高數學建模能力；體會等比數列與指數函式的關係．
2．通過現實生活中大量存在的數列模型，讓學生充分感受到數列是反映現實生活的模型，體會數學是豐富多彩的而不是枯燥無味的，達到提高學生學習興趣的目的．
3．通過對等比數列概念的歸納，進一步培養學生嚴密的思維習慣和嚴謹的科學態度．體會**過程中的主體作用及**問題的方法，經歷解決問題的全過程．
重點難點
教學重點：掌握等比數列的定義；理解等比數列的通項公式及推導．
教學難點：靈活應用等比數列的定義及通項公式解決相關問題，在具體問題中抽象出等比數列模型及掌握重要的數學思想方法．
課時安排
2課時教學過程
第1課時
匯入新課
思路1.(情境引入)將一張厚度為0.044 mm的白紙一次又一次地對折，如果對折1 000次(假設是可能的)，紙的厚度將是4.
4×10296 m，相當於約5.0×10292個珠穆朗瑪峰的高度和，這可能嗎？但是一位數學家曾經說過：
你如果能將一張報紙對折38次，我就能順著它在今天晚上爬上月球．將一張報紙對折會有那麼大的厚度嗎？這就是我們今天要解決的問題，讓學生帶著這大大的疑問來展開新課．
思路2.(例項匯入)先給出四個數列：
1,2,4,8,16，……
1，－1,1，－1,1，……
－4,2，－1，……
1,1,1,1,1，……
由學生自己去**這四個數列，每個數列相鄰兩項之間有什麼關係？這四個數列有什麼共同點？讓學生觀察這些數列與上節課學習的等差數列有什麼不同？由此引入新課．
推進新課
1 回憶等差數列的概念及等差數列的通項公式的推導方法.
2 閱讀課本本節內容的①②③3個背景例項，領會三個例項所傳達的思想，寫出由3個例項所得到的數列.
3 觀察數列①②③，它們有什麼共同的特徵？你能再舉出2個與其特徵相同的數列嗎？
4 模擬等差數列的定義，怎樣用恰當的語言給出等比數列的定義？
5 模擬等差中項的概念，你能說出什麼是等比中項嗎？它與等差中項有什麼不同？
6 你能舉出既是等差數列又是等比數列的例子嗎？
7 模擬等差數列通項公式的推導過程，你能推導出等比數列的通項公式嗎？
8 模擬等差數列通項公式與一次函式的關係，你能說明等比數列的通項公式與指數函式的關係嗎？
活動：教師引導學生回憶等差數列概念的學習過程，指導學生閱讀並分析教科書中給出的3個例項．
引導學生發現數列①②③的共同特點：
對於數列①，從第2項起，每一項與前一項的比都等於2；
對於數列②，從第2項起，每一項與前一項的比都等於3；
對於數列③，從第2項起，每一項與前一項的比都等於－.
也就是說，這些數列有乙個共同的特點：從第2項起，每一項與前一項的比都等於同一常數，這裡仍是後項比前項，而不是前項比後項，具有這樣特點的數列我們稱之為等比數列．讓學生模擬等差數列給出等比數列的定義：
一般地，如果乙個數列，從第2項起，每一項與它的前一項的比都等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等比數列．
這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示，顯然q≠0，上面的三個數列都是等比數列，公比依次是2,3，－.
①給出等比數列的定義後，讓學生嘗試用遞推公式描述等比數列的定義，即a1＝a，an＋1＝an·q(n＝1,2,3，…)．
②再讓學生思考既是等差數列，又是等比數列的數列存在嗎？學生思考後很快會舉出1,1,1，…既是等比數列也是等差數列，其公比為1，公差為0.
教師可再提出：常數列都是等比數列嗎？讓學生充分討論後可得出0,0,0，…是常數列，但不是等比數列．
③至此，學生已經清晰了等比數列的概念，比如，從等比數列定義知，等比數列中的任意一項不為零，公比可以為正，可以為負，但不能為0.
④模擬等差中項的概念，我們可得出等比中項的概念：如果三個數x，g，y組成等比數列，則g叫做x和y的等比中項．如果g是x和y的等比中項，那麼＝，即g2＝xy，g＝±.因此同號的兩個數的等比中項有兩個，它們互為相反數，乙個正數和乙個負數沒有等比中項．顯然，在乙個等比數列中，從第2項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它的前一項與後一項的等比中項；反之，如果乙個數列從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與後一項的等比中項，那麼這個數列是等比數列．
課件演示：不完全歸納法得到等差數列通項公式的過程：
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，
……歸納得到an＝a1＋(n－1)d.
模擬這個過程，可得等比數列通項公式的歸納過程如下：
a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
……歸納得到an＝a1qn－1.
這樣做可以幫助學生體會歸納推理對於發現新的數學結論的作用．這個結論的正確性可用後面的數學歸納法進行嚴格證明，現在我們先承認它．
下面我們再模擬等差數列，**推導等比數列通項公式的其他方法：
∵是等比數列，
∴＝q，＝q，＝q，…，＝q.
把以上n－1個等式兩邊分別乘到一起，即疊乘，則可得到
＝qn－1，
於是得到an＝a1qn－1.
對於通項公式，教師引導學生明確這樣幾點：
(1)不要把公式錯誤地寫成an＝a1qn.
(2)對公比q，要和等差數列的公差一樣，強調「從第2項起，每一項與它的前一項的比」，不要把相鄰兩項的比的次序顛倒，且公比q可以為正，可以為負，但不能為0.
(3)在等比數列a，aq，aq2，aq3，…中，當a＝0時，一切項都等於0；當q＝0時，第二項以後的項都等於0，這不符合等比數列的定義．因此等比數列的首項和公比都不能為0.
(4)模擬等差數列中d＞0，d＜0時的情況，若q＞0，則相鄰兩項符號同號，若q＜0，則各項符號異號；若q＝1，則等比數列為非零常數列；若q＝－1，則為如2，－2,2，－2，…這樣的數列；若|q|＜1，則數列各項的絕對值遞減．
最後讓學生完成下表，從定義、通項公式比較等差數列、等比數列的異同，加深概念的理解．
討論結果：(1)～(3)略．
(4)等比數列定義：如果乙個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等比數列．
(5)並不是所有的兩個數都有等比中項．
(6)除0外的常數列既是等差數列，又是等比數列．
(7)(8)略．
例1由下面等比數列的通項公式，求首項與公比．
(1)an＝2n；
(2)an＝·10n.
活動：本例的目的是讓學生熟悉等比數列的概念及通項公式，可由學生口答或互相提問．
解：(1)an＝2·2n－1，
∴a1＝2，q＝2.
(2)∵an＝·10·10n－1，
∴a1＝×10＝，q＝10.
點評：可通過通項公式直接求首項，再求公比．如(1)中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2.
變式訓練
設a1，a2，a3，a4成等比數列，其公比為2，則的值為( )
abcd．1
答案：a
解析：由題意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1，
∴＝＝.
例2(教材本節例3)
活動：本例是等比數列通項公式的靈活運用，可讓學生自己完成．
點評：解完本例後，啟發引導學生觀察a5，a10，a15，a20的規律．
變式訓練
已知為等比數列，a3＝2，a2＋a4＝，求的通項公式．
解：設等比數列的公比為q，則q≠0.
∵a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.
解得q1＝，q2＝3.
當q＝時，a1＝18.
∴an＝18×()n－1＝＝2×33－n.
當q＝3時，a1＝，
∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
例3已知數列滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)求an的表示式．
活動：教師引導學生觀察，數列不是等差數列，也不是等比數列，要求an的表示式，通過轉化是等比數列來求解．
解：(1)證明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
高中數學複習學 教 案 第16講 等比數列
題目第三章數列等比數列 高考要求 理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實際問題 知識點歸納 1等比數列的概念 如果乙個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示 2等比中項 如...
高中數學知識點 等差數列等比數列
等差數列 等比數列 知識要點 1 數列 按一定順序排列的一列數叫做數列。數列的項不能少於三項，所謂的按一定順序排列並不是指一定具有某種可用解析式表示的規律。項與項數不同，數列實質上是乙個函式值列，項是函式值，項數是自變數值。數列與集合有著本質的區別。數列的項有順序並且必須是數，各項的值也允許重複至少...
高中數學題庫 等比數列及其前n項和
11 2017 江西贛州厚德外國語學校高三入學考試 設是等比數列的前項和，若，則 abcd 或 2017 湖南雙峰一中高三月考一 已知等比數列的前n項和為，則的值是 答案 28 10.2017 湖南衡陽八中 永州四中高三聯考一 設等比數列的前n項和為sn 若s2 3，s4 15，則s6 a 31b ...