等比數列和數列的求和（文）
一周強化
一、一周知識概述
本週複習內容是數比數列和數列的求和，以及等差數列和等比數列的綜合運用．等差數列和等比數列常常綜合命題，這些內容是高考考查的重點內容，並用常常與函式、不等式、解析幾何、數列極限交叉命題，可以達到很高的難度．
二、重、難點知識的歸納與剖析
1、本週學習的重點
等比數列
（1）等比數列：
（2）通項公式：an=a1qn－1；
推廣式：an=am·qn－m；
（3）求和公式：
（4）性質：
若數列是等比數列，公比為q，則有下列性質：
①an=am·qn－m (m，n∈n*)；
②若m＋n=p＋q(m，n，p，q∈n*)，則有am·an=ap·aq.
特別地，若m＋n=2k，則am·an=;
③a1an=a2an－1=…=aian－i＋1=…；
④在中，每隔k(k∈n*)項取出一項，按原來順序排列，所得新數列仍為等比數列且公比為qk+1;
⑤若m，n，p(m，n，p∈n*)成等差數列，則am，an，aq成等比數列.
等比數列前n項和的有關性質
若數列是公比為q的等比數列，則有
①sn＋m=sn＋qnsm;
②sn，s2n－sn，s3n－s2n成等比數列；
③若項數為2n(n∈n*) 則s偶=s奇q，若項數為2n＋1項（n∈n*），
則s奇=qs偶＋a1.
2、本週學習的難點
數列求和的特殊方法：
（1）公式法求和：
常用的公式有：
（2）倒序相加法：如果乙個數列與首末兩項等距離的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著寫和與倒著寫的兩個和式相加，就得到乙個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法；
（3）錯位相消法：主要用於乙個等差數列與乙個等比數列對應項相乘所得到的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣；
（4）裂項求和：把數列的每一項分成兩項，使其轉化為幾個等差數列、等比數列，再求解；
（5）折項相消法：把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項；
（6）無窮遞縮等比數列求和公式：
三、例題點評
例１、已知等比數列的首項為a1=2002，公比
（1）設f(n)表示該數列的前n項之積，求f(n)的表示式.
（2）當n取何值時，數列有最大項？
分析： 若數列中存在某一項am，滿足am＞am－1＞…＞a1，且am＞am+1＞am＋2＞…，則am為數列中的最大項；類似地可以得到最小項，也可利用an的表示式直接求得最大(小)項．這裡，由於f(n)有正有負，可以先確定數列的最大項，就容易求得數列的最大項了.
解：（1）易知
由於210=1024，211=2048，
∴當n≤10時，從而有
|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|;
當n＞10時，從而有
|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…
又f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，
∴f(12)＞f(9)，數列有最大項f(12).
點評： 解題關鍵點首先要讀懂題目，理解題意，要充滿信心，這種給出陌生的背景（問題的情景）、敘述較為隱晦的題目，其實所涉及的數學知識往往比較簡單，剔除偽裝並符號化，就是我們熟悉的問題.
例2、 求下面各數列的前n項和sn.
（1）（2）分析：先求出每個數列的通項，再裂項求和.
解答：點評： 把數列的通項拆成若干項的和或差，然後求和稱為裂項法．如果通項拆成若干項的差，求和時要細心觀察相消的規律，保留哪些項等，必要時可適當地多寫出一些項，防止漏項或增項.
例3、 已知數列的前n項和sn=32n－n2，求數列的前n項和sn′.
分析：根據與的項之間的關係，尋找sn′與sn的關係，利用sn來求sn′.
解答：∵ sn=32－n2, ∴ a1=31.
當n≥2時，an=sn－sn－1=33－2n.
由an≥0，得 n≤16.5<17，
即數列中前16項均為正數，以後各項均為負數，
所以，當n≤16時，
=|a1|＋|a2|＋…＋|an|=a1＋a2＋…＋an=sn=32n－n2；
當n>16時，
點評：一般地，數列與數列的前n項和為sn與sn′：
當ak≥0時，有sn′=sn；當ak<0時，sn′=－sn(k=1,2,…,n).
若在a1,a2,…,an中，有一些項不小於零，而其餘各項均小於零，
設其和分別為s＋、s－，則有sn=s＋＋s－，
所以sn′=s＋－s－=2s＋－sn=sn－2s－.
本題的求和方法叫做分項求和法，適用於通項公式為多項式的數列求和的問題.
例4、設求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值.
解：點評：
對等差數列倒序相加求和時利用了an＋a1=an－1＋a2=…，
對於也可產生如上效果．
可見類似於這種可以將若干項和轉化為某項積的求和方法實際上是抓住了數列（或解析式）的特點，利用「整體」運算簡化求和的一種方法.
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