一、知識要點
1．等差數列和等比數列是兩種最基本，最常見的數列.
應熟練掌握等差、等比數列的定義、通項公式、前n項和公式，通過通項公式與前n項和公式聯絡著五個基本量a1,d(或q)，n, an, sn，「已知其三必可求其餘二」，將等差、等比數列問題，轉化為關於這五個基本量的運算問題，是常見的解題方法.
2．等差、等比數列具有很多特殊性質，在運算時，除轉化為基本量，運用方程思想解決之外，還常通過靈活運用性質，從而簡化運算，常用性質如下:
①考察數列的項的下標之間的聯絡:
②數列的運算:
若, 為等差數列，則為等差數列
若, 為等比數列，則, (bn≠0)為等比數列
若為正項等比數列，則為等差數列
若為等差數列，則（c為正常數）為等比數列等.
還可以運用等差，等比數列的定義，證明通過其他運算所產生的新數列具有等差或等比的特徵，我們應對此加以關注，從而了解新數列的特殊性，運用等差，等比性質解題.
③等差或等比的子數列所具有的性質:
如等差數列的前m項和為30, 前2m項和為100，求它的前3m項的和.
可設前m項之和為v1，m+1到2m項之和為v2，2m+1到3m項之和為v3，利用v1，v2，v3成等差數列，於是:
v1=30, v2=100-30=70, d=70-30=40,所以 v3=v2+d=70+40=110.
所以前3m項之和s3m=sm+(s2m-sm)+(s3m-s2m)=v1+v2+v3=210.
再如，是由正數組成的等比數列，公比q=2, 且a1·a2·a3……a30=230, 求a3·a6·a9……a30的值.
若利用等比數列的性質，將數列的前30項分成三組，於是
設a1a4a7……a28=x
a2a5a8……a29=x·210
a3a6a9……a30=x·220
於是有230=x(x·210)·(x·220)=x3·230,所以 x=1又 x屬於r, 所以x=1,所以 a3a6a9……a30=220,
由以上兩個例可以看出，靈活運用等差、等比數列的有關性質，可以提高解題技能，減少運算量.
3．注意運用函式的觀點和方法揭示等差數列和等比數列的特徵，在分析和解決數列綜合題時要注意運用數學思想方法以及和函式，不等式知識的聯絡.
二、典型問題:
例1．已知數列的前n項和sn=10n-n2，數列的每一項都有bn=|an|，求數列的前n項和tn.
分析與解答:
①判斷是等差數列:a1=s1=9
當n≥2時，an=sn-sn-1=(10n-n2)-[10(n-1)-(n-1)2]=11-2n.又當n=1, 11-2n=9=a1,
所以數列的通項公式為 an=11-2n.所以數列是以9為首項，以-2為公差的等差數列.
② 判斷的特徵並轉化為等差數列求和，因為bn=|an|,而中，當n≤5時，an>0,當n>5時，an<0,
所以 的前5項與對應項相同，從第6項起，各項與對應項符號相反，絕對值相同，
所以當n≤5時，tn=sn=10n-n2.
當n≥6時，tn=a1+a2+……+a5-a6-a7-……-an=-(a1+a2+……+an)+2(a1+a2+……+a5)=-sn+2s5=n2-10n+50.
綜上所述，可得數列的前n項和tn為tn=
點評:運用函式觀點去認識數列問題，雖不是等差數列，但可尋找它與等差數列的聯絡，通過分類討論，
可將轉化，利用等差求和.所以，結果需用分段函式加以表述.
例2．已知數列中，sn是它的前n項和，並且sn+1=4an+2(n=1,2,……), a1=1,
(1)設bn=an+1-2an(n=1,2,……),求證數列是等比數列.
(2)設cn= (n=1,2,……),求證數列是等差數列.
(3)求數列的通項公式及前n項和的公式
分析與解答:
(1)因為sn+1=4an+2 所以 sn+2=4an+1+2
以上兩式等號兩邊分別相減，得 sn+2-sn+1=4an+1-4an(n=1,2,……) 即 an+2=4an+1-4an
變形，得 an+2-2an+1=2(an+1-2an) 因為 bn=an+1-2an(n=1,2,……) 所以 bn+1=2bn.
由此可知，數列是公比為2的等比數列.
由s2=a1+a2=4a1+2, a1=1, 所以 a2=5, 所以 b1=a2-2a1=3,所以 bn=3·2n-1
(2) cn= (n=1,2,……) 所以 cn+1-cn=
將 bn=3·2n-1 ，代入得，cn+1-cn= (n=1,2,……)
由此可知，數列是公差為的等差數列，它的首項c1= ，故cn= (n-1)= n- .
(3)cn= n- = (3n-1) 所以 an=2n·cn=(3n-1)·2n-2 (n=1,2,……)
當n≥2時，sn=4an-1+2=(3n-4)2n-1+2
由於s1=a1=1也適合此公式，故所求的前n項和公式是sn=(3n-4)2n-1+2.
點評:該題是著眼於數列間的相互關係的問題，解題時，要注意利用題設的已知條件，通過合理轉換，將非等差，
等比數列轉化為等差，等比數列，求得問題的解決利用等差（比）數列的概念，將已知關係式進行變形，變形成
能做出判斷的等差或等比數列，這是數列問題中的常見策略.
例3．已知a>0, a≠1,數列的首項是a,公比也是a的等比數列，令bn=an·lgan(n屬於n).
(1)求數列的前n項和sn;(2)當數列中的每一項總小於它後面的項時，求a的取值範圍.
分析與解答:
(1) 由題意得， an=an, bn=n·anlga,sn=b1+b2+b3+……+bn =(1·a+2·a2+3·a3+……+n·an)lga
asn=(1·a2+2·a3+3·a4+……+n·an+1)lga
以上兩式相減得:(1-a)sn=(a+a2+a3+……+an-n·an+1)lga =[ -n·an+1]·lga=
[1-(1+n-na)an]
因為 a≠1,所以sn= [1-(1+n-na)an].
(2)由bk+1-bk=(k+1)ak+1lga-k·aklga=aklga[k(a-1)+a]
由題意知，bk+1-bk>0，而ak>0, 所以 lga[k(a-1)+a]>0
若a>1, 則lga>0, k(a-1)+a>0, 所以不等式①顯然成立， 若0故不等式①成立 k(a-1)+a<0 0因為 k屬於n, 所以 ( )min= ,所以 0點評:①對於數列的求和問題，要注意運用教材中推導等比數列前n項和公式的基本方法.
② 在解決第二問時，要注意將數列與不等式，函式有機結合，揭示知識間的內在聯絡，確定a的取值範圍.
三、課後練習:
(1)已知a1,a2,……a8為各項都大於零的等比數列，公比q≠1,則（ ）.
a、a1+a8>a4+a5 b、a1+a8c、a1+a8=a4+a5 d、a1+a8和a4+a5的大小關係不能由已知條件確定
(2)已知a,b,c的倒數或等差數列，且a,b,c互不相等，則為（ ）.
a、 b、 c、 d、
(3)乙個等差數列共 2n+1項，其中奇數項之和為305，偶數項之和為244，則第n+1項為（ ）.
a、63 b、62c、61d、60
(4)設a、b、c分別是等比數列 的前n項和，數列是等差數列，公差d= ,若logxan-bn=logxa1-b1,
求x.(5)設a、b、c分別是等比數列的前n項和，前2n項和，前3n項和，試比較a2+b2與a(b+c)的大小.
(6) 某企業在「減員增效」中，對部分人員實行分流，規定分流人員第一年可以到原單位領取工資的100%，
從第二年起，以後每年只能在原單位按上一年的領取工資.該企業根據分流人員的技術特長，計畫創辦新
的經濟實體，該經濟實體預計第一年屬投資階段，沒有利潤，第二年每人可獲b元收入，從第三年起，每人每
年的收入可在上一年基礎上遞增50%，如果某人分流前工資收入每年a元，分流後第n年的總收入為an元.
①試寫出an與n(n≥2)的函式關係；
②當b= a時，這個人哪一年收入最少，最少收入是多少？
③當b≥ a時，是否一定可以保證這個人分流一年後的年收入永遠超過分流前的年收入.
參***:
(1) a (2)c (3)c (4)x=8 (5) a2+b2=a(b+c)
(5) ①an=a( )n-1+b( )n-2 (n≥2)
②n=3
③當n≥2時，an=a( )n-1+b( )n-2≥a( )n-1+ a( )n-2≥2
=2 =a.
上述等號成立，須b= a,且a( )n-1= a( )n-1,即 ( )2n-2=( )2, 所以 n=1+ ,
因為 1+ >1+ =2 所以 1+ 不是自然數.
因此等號不能取到，即當n>2時，有an>a,但當n=2時，a2= a+ a= a>a.
綜上，當b≥ a時，一定可以保證這個人分流一年後的年收入永遠想過分流前的年收入.
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歷年高考真題考點歸納 2011年第六章數列第一節等差數列 等比數列的概念及求和 一 選擇題 1 天津理4 已知為等差數列，其公差為 2，且是與的等比中項，為 的前項和，則的值為 a 110b 90 c 90d 110 答案 d 2 四川理8 數列的首項為，為等差數列且 若則，則 a 0 b 3c 8...
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