1、在數列中，
（ⅰ）試比較與的大小；
（ⅱ）證明：當時，.
解：（ⅰ）由題設知，對任意，都有
，6分（ⅱ）證法1：由已知得，
又.當時，
10分設
則①-②，得
……………………14分
證法2：由已知得，
（1） 當時，由，知不等式成立。………8分
（2） 假設當不等式成立，即，那麼
要證，只需證
即證，則只需證………………10分
因為成立，所以成立.
這就是說，當時，不等式仍然成立.
根據（1）和（2），對任意，且，都有……14分
2、設f1(x)=，定義fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =（n∈n*）.
(1) 求數列｛an｝的通項公式；
(2) 若，qn=（n∈n*），試比較9t2n與
qn的大小，並說明理由.
解：（1）∵f1(0)=2，a1==，fn+1(0)= f1［fn(0)］=,
∴an+1==== -= -an.
∴數列｛an｝是首項為,公比為-的等比數列，∴an= ()n1.
（2）∵t2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n1+2na 2 n，
∴t2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n－1+2na2 n
= a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n.
兩式相減，得t2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n.
∴t2n =+n×(-)2n1=- (-)2n+ (-)2n1.
t2n =- (-)2n+ (-)2n1= (1-).
∴9t2n=1-.
又qn=1-，
當n=1時，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9t2 n＜q n；
當n=2時，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9t2 n＜qn；
當n≥3時，，
∴9t2 n＞q n.
3、滿足，其中是的前n項和，數列：，其前n項和為，試比較和的大小
解析: 觀察的結構，注意到，展開得
，即，得證.
二階齊次線性遞推數列
4、已知數列滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈n*），若數列是等比數列.
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）求證：當k為奇數時，；
（ⅲ）求證：
解（ⅰ）∵為等比數列，
∴應為常數， ∴
得=2或=－32分
當=2時，可得為首項是，公比為3的等比數列，
則 ①
當=－3時，為首項是，公比為－2的等比數列，
∴ ②
①－②得4分
（注：也可由①利用待定係數或同除2n+1得通項公式）
（ⅱ）當k為奇數時，
8分（ⅲ）由（ⅱ）知k為奇數時，…………10分
①當n為偶數時，
②當n為奇數時，
= ………………12分
等差數列和等比數列的複習
一 知識要點 1 等差數列和等比數列是兩種最基本，最常見的數列.應熟練掌握等差 等比數列的定義 通項公式 前n項和公式，通過通項公式與前n項和公式聯絡著五個基本量a1,d 或q n,an,sn，已知其三必可求其餘二 將等差 等比數列問題，轉化為關於這五個基本量的運算問題，是常見的解題方法.2 等差 ...
等差數列 等比數列知識總結
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