歷年高考真題考點歸納 2023年第六章數列第一節等差數列、等比數列的概念及求和
一、選擇題
1.(天津理4)已知為等差數列,其公差為-2,且是與的等比中項,為
的前項和,,則的值為
a.-110b.-90
c.90d.110
【答案】d
2.(四川理8)數列的首項為,為等差數列且.若則,,則
a.0 b.3c.8d.11
【答案】b
【解析】由已知知由疊加法
3.(全國大綱理4)設為等差數列的前項和,若,公差,,則
a.8b.7c.6d.5
【答案】d
4.(江西理5) 已知數列{}的前n項和滿足:,且=1.那麼=
a.1 b.9 c.10 d.55
【答案】a
二、填空題
5.(湖南理12)設是等差數列,的前項和,且,
則【答案】25
6.(重慶理11)在等差數列中,,則
【答案】74
7.(北京理11)在等比數列中,a1=,a4=-4,則公比q2
【答案】
8.(廣東理11)等差數列前9項的和等於前4項的和.若,則k
【答案】10
9.(江蘇13)設,其中成公比為q的等比數列,成公差為1的等差數列,則q的最小值是________
【答案】
三、解答題
10.(江蘇20)設m部分為正整數組成的集合,數列,前n項和為,已知對任意整數km,當整數都成立
(1)設的值;
(2)設的通項公式
本小題考查數列的通項與前項和的關係、等差數列的基本性質等基礎知識,考查考生分析**及邏輯推理的能力,滿分16分。
解:(1)由題設知,當,
即,從而所以的值為8。
(2)由題設知,當
,兩式相減得
所以當成等差數列,且也成等差數
列 從而當時, (*)
且,即成等差數列,
從而,故由(*)式知
當時,設
當,從而由(*)式知
故從而,於是
因此,對任意都成立,又由可知,
解得因此,數列為等差數列,由
所以數列的通項公式為
11.(北京理20)
若數列滿足,數列為數列,記=.
(ⅰ)寫出乙個滿足,且〉0的數列;
(ⅱ)若,n=2000,證明:e數列是遞增數列的充要條件是=2011;
(ⅲ)對任意給定的整數n(n≥2),是否存在首項為0的e數列,使得=0?如果存在,寫出乙個滿足條件的e數列;如果不存在,說明理由。
解:(ⅰ)0,1,2,1,0是一具滿足條件的e數列a5。
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是乙個滿足條件的e的數列a5)
(ⅱ)必要性:因為e數列a5是遞增數列,
所以.所以a5是首項為12,公差為1的等差數列.
所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.
充分性,由於a2000—a1000≤1,
a2000—a1000≤1
……a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.
又因為a1=12,a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是遞增數列.
綜上,結論得證。
(ⅲ)令
因為……所以因為
所以為偶數,
所以要使為偶數,
即4整除.
當時,有
當的項滿足,
當不能被4整除,此時不存在e數列an,
使得12.(廣東理20)
設b>0,數列滿足a1=b,.
(1)求數列的通項公式;
(2)證明:對於一切正整數n,
解: (1)由
令,當①當時,
②當(2)當時,(欲證)
,當綜上所述
13.(湖北理19)
已知數列的前項和為,且滿足:,n*,.
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ)若存在n*,使得,,成等差數列,是判斷:對於任意的n*,且,,,是否成等差數列,並證明你的結論.
本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識,同時考查推理論證能力,以及特殊與一般的思想。(滿分13分)
解:(i)由已知可得,兩式相減可得
即又所以r=0時,
數列為:a,0,…,0,…;
當時,由已知(),
於是由可得,
成等比數列,
,綜上,數列的通項公式為
(ii)對於任意的,且成等差數列,證明如下:
當r=0時,由(i)知,
對於任意的,且成等差數列,
當,時,
若存在,使得成等差數列,
則,由(i)知,的公比,於是
對於任意的,且
成等差數列,
綜上,對於任意的,且成等差數列。
14.(遼寧理17)
已知等差數列滿足a2=0,a6+a8=-10
(i)求數列的通項公式;
(ii)求數列的前n項和.
解: (i)設等差數列的公差為d,由已知條件可得
解得故數列的通項公式為5分
(ii)設數列,即,
所以,當時,
所以綜上,數列12分
15.(全國大綱理20)
設數列滿足且
(ⅰ)求的通項公式;
(ⅱ)設
解: (i)由題設
即是公差為1的等差數列。
又所以(ii)由(i)得
8分 …………12分
16.(山東理20)
等比數列中,分別是下表第
一、二、三行中的某乙個數,且中的任何兩個數不在下表的同一列.
(ⅰ)求數列的通項公式;
(ⅱ)若數列滿足:,求數列的前n項和.
解:(i)當時,不合題意;
當時,當且僅當時,符合題意;
當時,不合題意。
因此所以公式q=3,
故 (ii)因為
所以 所以
當n為偶數時,
當n為奇數時,
綜上所述,
17.(上海理22) 已知數列和的通項公式分別為,(),將集合
中的元素從小到大依次排列,構成數列
。(1)求;
(2)求證:在數列中.但不在數列中的項恰為;
(3)求數列的通項公式。
解:⑴ ;
⑵ ① 任意,設,則,即
② 假設(矛盾),∴
∴ 在數列中.但不在數列中的項恰為。
⑶ ,,,
∵ ∴ 當時,依次有,……
∴ 。18.(天津理20)
已知數列與滿足:, ,且
.(ⅰ)求的值;
(ⅱ)設,證明:是等比數列;
(iii)設證明:.
本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識,考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.
(i)解:由
可得又(ii)證明:對任意
①②③②—③,得 ④
將④代入①,可得即又
因此是等比數列.
(iii)證明:由(ii)可得,
於是,對任意,有
將以上各式相加,得
即,此式當k=1時也成立.由④式得
從而所以,對任意,
對於n=1,不等式顯然成立.
所以,對任意
19.(浙江理19)已知公差不為0的等差數列的首項為a(),設數列的前n項和為,且,,成等比數列
(1)求數列的通項公式及
(2)記,,當時,試比較與的大小.
本題主要考查等差數列、等比數列、求和公式、不等式等基礎知識,同時考查分類討論思想。滿分14分。
(i)解:設等差數列的公差為d,由
得因為,所以所以
(ii)解:因為,所以
因為,所以當,即
所以,當
當20.(重慶理21)
設實數數列的前n項和,滿足
(i)若成等比數列,求和;
(ii)求證:對
(i)解:由題意,
由s2是等比中項知
由解得 (ii)證法一:由題設條件有
故從而對有
①因,由①得
要證,由①只要證
即證此式明顯成立.
因此最後證若不然
又因矛盾.
因此證法二:由題設知,
故方程(可能相同).
因此判別式
又由因此,
解得因此
由,得因此
等差數列 等比數列的證明及數列求和
1 已知數列滿足,求證 數列是等比數列 求數列的通項公式。2 已知數列滿足,求證 數列是等比數列 求數列的通項公式。3 已知數列滿足,求證 數列是等差數列 求數列的通項公式。4 已知數列滿足,求證 數列是等差數列 求數列的通項公式。5 已知數列,是它的前項和,且,設,求證 數列是等比數列 設,求證 ...
等差數列和等比數列的複習
一 知識要點 1 等差數列和等比數列是兩種最基本,最常見的數列.應熟練掌握等差 等比數列的定義 通項公式 前n項和公式,通過通項公式與前n項和公式聯絡著五個基本量a1,d 或q n,an,sn,已知其三必可求其餘二 將等差 等比數列問題,轉化為關於這五個基本量的運算問題,是常見的解題方法.2 等差 ...
等差數列 等比數列知識總結
若為等比數列,則為等比數列.4.前n項和公式 5.前n項和性質 已知等比數列的前n項和為sn,前2n項和為s2n,前3n項和為s3n,則s2n,s2n sn,s3n s2n成等比數列,公差為qn.已知數列為等差數列,公差為d,若bn 則數列為等比數列,公比為qd.已知數列為各項均為正數的等比數列,公...