專題四數列
第一講等差數列、等比數列
備考策略
本部分內容在備考時應注意以下幾個方面：
(1)加強對等差(比)數列概念的理解，掌握等差(比)數列的判定與證明方法．
(2)掌握等差(比)數列的通項公式、前n項和公式，並會應用．
(3)掌握等差(比)數列的簡單性質並會應用．
**2023年命題熱點為：
(1)在解答題中，涉及等差、等比數列有關量的計算、求解．
(2)已知數列滿足的關係式，判定或證明該數列為等差(比)數列．
(3)給出等差(比)數列某些項或項與項之間的關係或某些項的和，求某一項或某些項的和．
z 1．重要公式
(1)等差數列通項公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)等差數列前n項和公式：sn＝＝na1＋d.
(3)等比數列通項公式：an＝a1qn－1.
(4)等比數列前n項和公式：
sn＝.
(5)等差中項公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈n*，n≥2).
(6)等比中項公式：a＝an－1·an＋1(n∈n*，n≥2).
(7)數列的前n項和sn與通項an之間的關係：
an＝.
2．重要結論
(1)通項公式的推廣：等差數列中，an＝am＋(n－m)d；
等比數列中，an＝am·qn－m.
(2)增減性：①等差數列中，若公差大於零，則數列為遞增數列；若公差小於零，則數列為遞減數列.
②等比數列中，若a1>0且q>1或a1<0且00且01，則數列為遞減數列.
(3)等差數列中，sn為前n項和．sn，s2n－sn，s3n－s2n，…仍成等差數列；等比數列中，tn為前n項和．tn，t2n－tn，t3n－t2n，…一般仍成等比數列．
,y 1．忽視等比數列的條件：
判斷乙個數列是等比數列時，忽視各項都不為零的條件．
2．漏掉等比中項：
正數a，b的等比中項是±，容易漏掉－.
3．忽略對等比數列的公比的討論：
應用等比數列前n項和公式時應首先討**式q是否等於1.
4．an－an－1＝d或＝q中注意n的範圍限制．
5．易忽略公式an＝sn－sn－1成立的條件是n≥2.
6．證明乙個數列是等差或等比數列時，由數列的前n項和想當然得到數列的通項公式，易出錯，必須用定義證明．
7．等差數列的單調性只取決於公差d的正負，而等比數列的單調性既要考慮公比q，又要考慮首項a1的正負．
1．(2018·全國卷ⅰ，4)記sn為等差數列的前n項和．若3s3＝s2＋s4，a1＝2，則a5＝( b )
a．－12 b．－10
c．10 d．12
[解析] 3＝2a1＋d＋4a1＋×d9a1＋9d＝6a1＋7d3a1＋2d＝06＋2d＝0d＝－3，
所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
2．(2018·北京卷，4)「十二平均律」是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻．十二平均律將乙個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每乙個單音的頻率與它的前乙個單音的頻率的比都等於.若第乙個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為( d )
a． f b． f
c． f d． f
[解析] 選d．由已知，單音的頻率構成乙個首項為f，公比為的等比數列，記為，共有13項．由等比數列通項公式可知，b8＝b1q7＝f×()7＝f.
3．(2017·全國卷ⅰ，4)記sn為等差數列的前n項和．若a4＋a5＝24，s6＝48，則的公差為( c )
a．1 b．2
c．4 d．8
[解析] 設的公差為d，則由
得解得d＝4.
故選c．
4．(2017·全國卷ⅲ，9)等差數列的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數列，則的前6項和為( a )
a．－24 b．－3
c．3 d．8
[解析] 由已知條件可得a1＝1，d≠0，
由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，
解得d＝－2.
所以s6＝6×1＋＝－24.
故選a．
5．(2016·全國卷ⅰ，3)已知等差數列前9項的和為27，a10＝8，則a100＝( c )
a．100 b．99
c．98 d．97
[解析] 設等差數列的公差為d，因為為等差數列，且s9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，選c．
6．(2018·全國卷ⅰ，14)記sn為數列的前n項和．若sn＝2an＋1，則s6＝－63..
[解析] 依題意，作差得an＋1＝2an，
所以數列是公比為2的等比數列，
又因為a1＝s1＝2a1＋1，
所以a1＝－1，所以an＝－2n－1，
所以s6＝＝－63.
7．(2018·全國卷ⅱ，16)記sn為等差數列的前n項和，已知a1＝－7，s3＝－15.
(1)求的通項公式．
(2)求sn，並求sn的最小值．
[解析] (1)設等差數列的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以的通項公式為an＝2n－9.
(2)由(1)得sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以當n＝4時，sn取得最小值，最小值為－16.
例1 (1)已知等比數列的前n項和為sn，a1＋a3＝30，s4＝120，設bn＝1＋log3an，那麼數列的前15項和為( b )
a．152 b．135
c．80 d．16
[解析] 設等比數列的公比為q，由a1＋a3＝30，a2＋a4＝s4－(a1＋a3)＝90，所以公比q＝＝3，首項a1＝＝3，所以an＝3n，bn＝1＋log33n＝1＋n，則數列是等差數列，前15項的和為＝135.故選b．
(2)(2018·豐台二模)已知為等差數列，sn為其前n項和．若a2＝2，s9＝9，則a8＝0.
[解析] 因為為等差數列，sn為其前n項和．
a2＝2，s9＝9，設其首項為a1，公差為d，
所以解得d＝－，a1＝，
所以a8＝a1＋7d＝0.
『規律總結』
等差(比)數列基本運算的解題思路
(1)設基本量a1和公差d(公比q)．
(2)列、解方程(組)：把條件轉化為關於a1和d(q)的方程(組)，求出a1和d(q)後代入相應的公式計算．
(3)注意整體思想，如在與等比數列前n項和有關的計算中，兩式相除就是常用的計算方法，整體運算可以有效簡化運算．
g 1．(2018·邵陽模擬)等比數列的前n項和為sn，已知a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為，則s5＝( b )
a．29 b．31
c．33 d．36
[解析] 設等比數列的公比為q，因為a2a3＝2a1，所以aq3＝2a1，①
因為a4與2a7的等差中項為，
所以a4＋2a7＝，即a1q3＋2a1q6＝，②
聯立①②可解得a1＝16，q＝，
所以s5＝＝31.
2．(文)等比數列的前n項和為sn，已知s1,2s2,3s3成等差數列，則數列的公比為.
[解析] 由題意知s1＋3s3＝4s2，即a1＋3(a1＋a2＋a3)＝4(a1＋a2)，即3a3＝a2，
所以＝，即公比q＝.
(理)已知在數列中，a1＝1，an＋1＝an＋3，sn為的前n項和，若sn＝51，則n＝6.
[解析] 由a1＝1，an＋1＝an＋3，
得an＋1－an＝3，
所以數列是首項為1，公差為3的等差數列．
由sn＝n＋×3＝51，
即(3n＋17)(n－6)＝0，
解得n＝6或n＝－ (舍)．
例2 (1)(2018·漢中二模)已知等比數列的前n項積為tn，若log2a2＋log2a8＝2，則t9的值為( a )
a．±512 b．512
c．±1 024 d．1 024
[解析] log2a2＋log2a8＝2，
可得log2(a2a8)＝2，可得：a2a8＝4，則a5＝±2，
等比數列的前9項積為t9＝a1a2…a8a9＝(a5)9＝±512.
(2)若sn是等差數列的前n項和，且s8－s3＝20，則s11的值為( a )
a．44 b．22
c． d．88
[解析] 因為s8－s3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝20，由等差數列的性質可得，5a6＝20，所以a6＝4.由等差數列的求和公式得s11＝＝11a6＝44.
(3)設等差數列的前n項和為sn，且滿足s15>0，s16<0，則，，…，中最大的項為( c )
a． b．
c． d．
[解析] 由s15＝＝＝15a8>0，s16＝＝16×<0，可得a8>0，a9<0，d<0，故sn最大為s8.
又d<0，所以單調遞減，因為前8項中sn遞增，
所以sn最大且an取最小正值時有最大值，即最大．故選c．
『規律總結』
等差、等比數列性質的應用策略
(1)項數是關鍵：解題時特別關注條件中項的下標即項數的關係，尋找項與項之間、多項之間的關係選擇恰當的性質解題．
等差數列 等比數列知識總結
若為等比數列，則為等比數列.4.前n項和公式 5.前n項和性質 已知等比數列的前n項和為sn，前2n項和為s2n，前3n項和為s3n，則s2n，s2n sn，s3n s2n成等比數列，公差為qn.已知數列為等差數列，公差為d，若bn 則數列為等比數列，公比為qd.已知數列為各項均為正數的等比數列，公...
等差數列,等比數列經典習題總結
1.2010 安徽高考文科 5 設數列的前n項和，則的值為 a a 15b 16c 49d 64 2.2010 福建高考理科 3 設等差數列的前n項和為。若，則當取最小值時，n等於 a a.6 b.7 c.8 d.9 3.2010 廣東高考理科 4 已知為等比數列，sn是它的前n項和。若，且與2的等...
等差數列等比數列知識點
知識清單 1 等差數列定義 一般地，如果乙個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等於同乙個常數，那麼這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。2 等差數列的通項公式 說明 等差數列 通常可稱為數列 的單調性 為遞增數列，為常數列，為遞減數列。3 等差中...