知識點歸納
1、等差數列：(1)、定義：；
(2)、通項公式：；
(3)、前項和公式：；
(4)、任意兩項有；
(5)、對於任意正整數.若；則；
(6)、若均是等差數列，則也是等差數列.()
2、等比數列：
(1)、定義：；(2)、通項公式：；
(3)、前項和公式：；
(4)、任意兩項有；
(5)：對於任意正整數，若，則；
(6)、無窮遞縮等比數列所有項和公式：.
二．數列的求和
1、等差數列的前n項和公式. 等比數列的前n項和公式：
sn= ， sn= ；sn=（d=0）
當d≠0時，sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），sn=na1是關於n的正比例式；當q=1時，sn=n a1 (是關於n的正比例式)；當q≠1時，sn= sn=
2、基本公式法：等差、等比數列的前n項和公式、
3、拆項法求數列的和，如an=2n+3n
4、錯位相減法求和，如an=(2n-1)2n
（非常數列的等差數列與等比數列的積的形式）
5、**項法求和，如an=1/n(n+1)
（分子為非零常數，分母為非常數列的等差數列的兩項積的形式）
6反序相加法求和，如an=
例題講解：
1、刪去正整數數列1,2,3,中的所有完全平方數,得到乙個新數列.這個新數列的第2003項是
a.2046 b.2047 c.2048 d.2049
2、已知數列，，，，，…，這個數列的特點是從第二項起，每一項都等於它的前後兩項之和，則這個數列的前項之和等於
a. b. c. d
3、乙個由若干行數字組成的數表，從第二行起每一行中的數字均等於其肩上的兩個數字之和，最後一行僅有乙個數，第一行是前100個正整數按從小到大排成的行，則最後一行的數是＿＿＿＿。
4、等比數列,，的公比是
5、設數列的前項和為，則滿足不等式的最小整數是
6、在數列中, , ,設為數列的前項和,則 .
7、已知數列滿足關係式
，則的值是
8、設數列的前項的和，
（ⅰ）、求首項與通項；
（ⅱ）、設，，證明：
9、數列為等差數列，為正整數，其前項和為，數列為等比數列，且，數列是公比為64的等比數列，.（1）求；（2）求證.
10、設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，，（…）．
（1）證明：，；
（2）求數列的通項公式；
（3）若，，求的前項和．
11、已知點列b1(1,y1)、b2(2,y2)、…、bn(n,yn)（n∈n）
順次為一次函式圖象上的點，點列a1(x1,0)、a2(x2,0)、…、an(xn,0)（n∈n）順次為x軸正半軸上的點，其中x1=a0＜a＜1），對於任意n∈n，點an、bn、an+1構成以bn為頂點的等腰三角形。
⑴求的通項公式，且證明是等差數列；
⑵試判斷xn+2-xn是否為同一常數（不必證明），並求出數列的通項公式；
⑶在上述等腰三角形anbnan+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在， 請說明理由。
練習：1、已知數列滿足且,其前項之和為,則滿足不等式的最小整數是
a.5b.6c.7d.8
2、設等差數列滿足,且,為其前項之和,則中最大的是
abcd.
3、等比數列中, ,公比,用表示它的前項之積,則中最大的是
abcd.
4、已知數列滿足, ,記,則下列結論正確的是
a. b.
c. d.
5、給定公比為的等比數列,
設, , , ,
則數列a.是等差數列車員b.是公比為的等比數列
c.是公比為的等比數列 d.既非等差數列又非等比數列
6、設數列滿足, ,且對任意自然數,都有,又,
則的值是 .
7、各項為實數的等差數列的公差為4,其首項的平方與其餘各項之和不超過100,這樣的數列至多有項.
8、已知an= (n=1, 2, …)，則s99=a1+a2+…+a99
9、已知數列，，前n項部分和滿足，則
解答題：
10、個正數排成幾行幾列:
其中每一行的數成等差數列,每一列的數成等比數列,並且所有公比相等,已知, , ,試求的值.
11、設數列的前n項和為，點均在函式y＝3x－2的影象上。（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m。
12、數列
(ⅰ)求並求數列的通項公式；
(ⅱ)設證明：當
13、已知為實數,數列滿足:
, ,().
(1)當時,求證:;
(2)證明:存在正整數,使成立;
(3)當時,設是數列的前項和,是否存在實數及正整數,使得?若存在,求出與的值,若不存在,請說明理由.
答案：1、c 在數列1,2,3, ,2003中,刪去了44個()完全平方數,現給該數列再補上44項,得.所補的44個數中還有1個()完全平方數,把它刪除,再補上一項2048
2、d3、4、_
5、答案： 易知數列是首項是，公比是的等比數列，∴，
於是，∵，，故最小整數是7.
6、 ,
代入可得.
7、解：設即故數列是公比為2的等比數列，
.8、解：（i），解得：
所以數列是公比為4的等比數列
所以：得： （其中n為正整數）
（ii）
所以：9、解：（1）設的公差為，的公比為，則為正整數，
， 依題意有①
由知為正有理數，故為的因子之一，
解①得故
（2）∴
10、【解析】（1）由求根公式，不妨設，得
（2）設，則，由得，消去，得，是方程的根，
由題意可知，
①當時，此時方程組的解記為
即、分別是公比為、的等比數列，由等比數列性質可得, ,
兩式相減，得
，， ，
，即，②當時，即方程有重根，，即，得，不妨設，由①可知
，，即，等式兩邊同時除以，得，
即數列是以1為公差的等差數列，
,綜上所述，
（3）把，代入，得，解得
11、解：（1）(nn),yn+1-yn=,
∴為等差數列
（2）xn+1-xn=2為常數 (6) ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差為2的等差數列，
x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn=
（3）要使anbnan+1為直角三形，則
|anan+1|=2=2()xn+1-xn=2()
當n為奇數時，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
2(1-a)=2() a= (n為奇數，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解；
當偶數時，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()a= (n為偶數，0＜a＜1) (*)，
取n=2，得a=,若n≥4，則(*)無解.
綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、.
練習答案：
1、c 由遞推式變形得:,令,則且-1=8.得是首項為8,公比為的等比數列,於是,得,
,所以, 得,所以滿足這個不等式的最小整數.
2、c 設等差數列的公差為,由,
得,即,所以,則, ,最大.
3、c 由已知,
得,知, ,為正數,為負數,且,
,得最大.
4、a 由，
所以，即是週期為6的數列，得，又+，得。
5、c 由題設,
則.6、200 由
兩式相減得:,又,有；,由得,所以,從而,於是.
7、8 設是公差為4的等差數列,則,由已知: + .此關於為未知數的一元二次不等式有解,應有,
有,得,又,所以的最大值是8,即滿足題設的數列至多有8項.
8、an+a100-n=+=，
所以s99=
9、解：
.解答題：
10、(分析) 設,第一行數的公差為,第一列數的公比為,可得
解:設第一行數列公差為,各列數列的公比為,則第四行數列公差是,於是可得
解此方程組,得,由於所給個數都是正數,必有,從而有,
於是對任意的,有.得
, 又
兩式相減後得:
所以 .
11、解：（i）依題意得，即。
當n≥2時，;
當n=1時，×-2×1-1-6×1-5；所以。
（ii）由（i）得，
=。因此，使得﹤成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數m為10。
12、解: (ⅰ)因為
所以一般地，當時，
＝，即所以數列是首項為1、公差為1的等差數列，因此
當時，所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此
故數列的通項公式為
(ⅱ)由(ⅰ)知， ①
②①-②得，
所以要證明當時，成立，只需證明當時，成立.
13、證明:(1)當時,
, ,∴;
當時, , ,∴;
於是,當時
(2)()假設對所有的, ,則對所有的,有,知數列是首項為,公差為的等差數列，
∴,∵為常數,故對於充分大的,會有,這與假設矛盾! ∴滿足的正整數存在
()假設對所有的, ,則對所有的,有,則,知數列是首項為,公比為的等比數列,∴,即,
顯然,當,為奇數時,;當,
為偶數時,;均與假設矛盾!
由以上可知,滿足的正整數存在.
(3)下面對分情況討論:
當時,, , , ,
, , ,…
此時, ,不存在實數及正整數,
使得.當時
此時, ,令,得,
∴存在, ,使得.
當時, , , ,
,…此時, ,不存在實數及正整數,使得.
當時, ,…=2.
此時, ,不存在正整數,使得.
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