1.等差數列的定義式:(d為常數)();
2.等差數列通項公式:
首項:,公差:d,末項:
推廣:. 從而;
3.等差中項
(1)如果,,成等差數列,那麼叫做與的等差中項.即:或
(2)等差中項:數列是等差數列
4.等差數列的前n項和公式:
(其中a、b是常數,所以當d≠0時,sn是關於n的二次式且常數項為0)
特別地,當項數為奇數時,是項數為2n+1的等差數列的中間項
(項數為奇數的等差數列的各項和等於項數乘以中間項)
5.等差數列的判定方法
(1) 定義法:若或(常數)是等差數列.
(2) 等差中項:數列是等差數列.
⑶數列是等差數列(其中是常數)。
(4)數列是等差數列,(其中a、b是常數)。
6.等差數列的證明方法
定義法:若或(常數)是等差數列
等差中項性質法:.
7.提醒:
(1)等差數列的通項公式及前和公式中,涉及到5個元素:、、、及,其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其餘2個,即知3求2。
(2)設項技巧:
①一般可設通項
②奇數個數成等差,可設為…,…(公差為);
③偶數個數成等差,可設為…,,…(注意;公差為2)
8.等差數列的性質:
(1)當公差時,
等差數列的通項公式是關於的一次函式,且斜率為公差;
前和是關於的二次函式且常數項為0.
(2)若公差,則為遞增等差數列,若公差,則為遞減等差數列,若公差,則為常數列。
(3)當時,則有,特別地,當時,則有.
注:,(4)若、為等差數列,則都為等差數列
(5) 若{}是等差數列,則,…也成等差數列
(6)數列為等差數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數列
(7)設數列是等差數列,d為公差,是奇數項的和,是偶數項項的和,是前n項的和
當項數為偶數時,
當項數為奇數時,則
(其中是項數為2n+1的等差數列的中間項).
(8)的前和分別為、,且,
則.(9)等差數列的前n項和,前m項和,則前m+n項和
則(10)求的最值
法一:因等差數列前項是關於的二次函式,故可轉化為求二次函式的最值,但要注意數列的特殊性。
法二:(1)「首正」的遞減等差數列中,前項和的最大值是所有非負項之和
即當由可得達到最大值時的值.
(2) 「首負」的遞增等差數列中,前項和的最小值是所有非正項之和。
即當由可得達到最小值時的值.
或求中正負分界項
注意:解決等差數列問題時,通常考慮兩類方法:
①基本量法:即運用條件轉化為關於和的方程;
②巧妙運用等差數列的性質,一般地運用性質可以化繁為簡,減少運算量.
等差數列的性質總結
1.等差數列的定義 d為常數 2 等差數列通項公式 首項 公差 d,末項 推廣 從而 3 等差中項 1 如果,成等差數列,那麼叫做與的等差中項 即 或 2 等差中項 數列是等差數列 4 等差數列的前n項和公式 其中a b是常數,所以當d 0時,sn是關於n的二次式且常數項為0 特別地,當項數為奇數時...
等差數列的性質總結
1.等差數列的定義 d為常數 2 等差數列通項公式 首項 公差 d,末項 推廣 從而 3 等差中項 1 如果,成等差數列,那麼叫做與的等差中項 即 或 2 等差中項 數列是等差數列 4 等差數列的前n項和公式 其中a b是常數,所以當d 0時,sn是關於n的二次式且常數項為0 特別地,當項數為奇數時...
等差數列的性質總結
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