1. 等比數列的定義：，稱為公比
2. 通項公式：
，首項：；公比：
推廣從而得.
3. 等比中項
（1）如果成等比數列，那麼叫做與的等差中項．即：或
注意：同號的兩個數才有等比中項，並且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數）
（2）數列是等比數列
4. 等比數列的前項和公式：
（1）當時，.
（2）當時， （為常數）
5. 等比數列的判定方法
（1）定義法：對任意的,都有為等比數列.
（2）中項公式法：（0）為等比數列.
（3） 通項公式法： 為等比數列
（4） 前項和公式法： 為等比數列
6. 等比數列的證明方法
依據定義：若或為等比數列
7. 注意
（1）等比數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。
（2）為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項；
如奇數個數成等比，可設為…，…（公比為，中間項用表示）；
8. 等比數列的性質
（1）當時
①等比數列通項公式是關於n的帶有係數的類指數函式，底數為公比.
②前項和，係數和常數項是互為相反數的類指數函式，底數為公比
（2）對任何,在等比數列中,有,特別的,當時,便得到等比數列的通項公式.因此,此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。
（3）若(),則.特別的,當時,得
注： （4）數列,為等比數列,則數列, , , (k為非零常數) 均為等比數列.
（5）數列為等比數列,每隔項取出一項()仍為等比數列.
（6）如果是各項均為正數的等比數列,則數列是等差數列.
（7）若為等比數列,則數列，，，成等比數列.
（8）若為等比數列,則數列, ,成等比數列
（9）①當時
②當時，
③當時,該數列為常數列（此時數列也為等差數列）.
④當時,該數列為擺動數列.
（10）在等比數列中, 當項數為2n (n)時,.
（11）若是公比為q的等比數列,則
注意：解決等比數列問題時，通常考慮兩類方法：
①基本量法：即運用條件轉化為關於和的方程；
②巧妙運用等比數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．
等比數列練習
一、選擇題
1.已知數列成等差數列, 成等比數列，則的值為( )
abc、或d、
2.等比數列中，為方程的兩根，則的值為（ ）
abcd．
3.已知－9，a1，a2，－1四個實數成等差數列，－9，b1，b2，b3，－1五個實數成等比數列，則b2(a2－a1)＝（ ）
a．8b．－8cd．
4.某數列既成等差數列也成等比數列，那麼該數列一定是
a．公差為0的等差數列； b．公比為1的等比數列； c．常數數列1，1，1…； d．以上都不對.
5.等比數列的各項均為正數，且＝18，則＝（ ）
a．12b．10c．8d．2＋
6.已知是公差不為0的等差數列的前項和，且成等比數列，則等於（ ）
a. 4b. 6c.8d.10
7.公差不為零的等差數列的前項和為，若是與的等比中項，則等於（ ）
a、28b、32c、36d、40
8.等比數列的前項和為，若，則公比為（ ）
a.1b.1或－1c.或d.2或－2
9.已知等比數列的公比為2，前4項的和是1，則前8項的和為( )
a.15b．17c．19d ．21
10.設是公比為正數的等比數列，若，則數列的前5項和為（ ）高考資源網
a．15b．31c．32d．41
二、填空題
13.設等比數列{}的前n項和為。若，則
14.已知等差數列滿足：。若將都加上同乙個數，所得的三個數依次成等比數列，則所加的這個數為
15.等比數列的公比, 已知=1，，則的前4項和
16.等比數列的前項和=，則=_______.
三、解答題
17.（1）在等差數列中，，求及前項和；
（2）在等比數列中，，求．
18.為了保護三峽庫區的生態環境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要綠化造林。據初步統計，到2023年底庫區的綠化率只有30%。
計畫從2023年開始加大綠化造林的力度，每年原來坡度在25°以上的坡荒面積的16%將被造林綠化，但同時原有綠化面積的4%還是會被荒化。設該地區的面積為1，2023年綠化面積為，經過一年綠化面積為a2，…，經過n年綠化面積為
（i）試寫出的關係式，並證明數列是等比數列；
（ii）問至少需要經過多少年努力，才能使庫區的綠化面積超過60%？
19.已知等比數列記其前n項和為
（1）求數列的通項公式； （2）若
20.在等比數列中，公比，設，且
（1）求證：數列是等差數列； （2）求數列的前項和及數列的通項公式；
（3）試比較與的大小.
21.等比數列的前項和為，求公比。
22.設數列的前項和，且. 其中為常數，且
（ⅰ）求證是等比數列；
（ⅱ）若數列的公比，數列滿足，
求證為等差數列，並求.
答案一、選擇題
1.a 2.b 3.b 4.b 5.b 6.c 7.b 8.b 9.a 10.b
二、填空題
13.3 14.-1 15. 16.
三、解答題
17.解析：（1）數列是等差數列，因此， 由於
又 （2） 由
所以，18.解析：（i）設2023年坡度在25°以上的坡荒地面積為b1，經過n年綠化造林後坡荒地面積為
由所以數列
（ii）由（i）可知故至少需要5年才能使庫區的綠化面積超過60%。
19.解析：（1）設等比數列的公比為q，則
解得所以（2）由20.解析：（1）由已知為常數.故數列為等差數列，
且公差為 （先求也可
（2）因，又，所以由由
（3）因當時，，所以時，；
又可驗證是時，；時
21.解析：若
則矛盾說明：此題易忽略的情況，在等比數列求和時要分公比兩種情況進行討論。
22.解析：（ⅰ）由，兩式相減得
…………3分
， ∴是等比數列 …………6分
（ⅱ）b1=a1=1，，
……10分
∴是1為首項為公差的等差數列
∴ …………14分
等比數列的性質總結
等比數列的性質總結及經典例題 1.等比數列的前n項和公式 1 當時，2 當時，為常數 2.等比數列的判定方法 1 用定義 對任意的n,都有為等比數列 2 等比中項 0 為等比數列 3 通項公式 為等比數列 4 前n項和公式 為等比數列 6.等比數列的證明方法 依據定義 若或為等比數列 7.注意 1 ...
等比數列性質
1.等比數列的定義 稱為公比 2.通項公式 首項 公比 推廣從而得或 3.等比中項 1 如果成等比數列，那麼叫做與的等差中項 即 或 注意 同號的兩個數才有等比中項，並且它們的等比中項有兩個 兩個等比中項互為相反數 2 數列是等比數列 4.等比數列的前n項和公式 1 當時，2 當時，為常數 5.等比...
等比數列性質作業
2.4 等比數列的性質 作業 1 和的等比中項是 a.1 b.c.d.22 在3和9之間插入兩個正數，使前3個數成等比數列，後3個數成等差數列，則這兩個正數之和為 a.b.c.d.3 在等比數列中，且，則的值為 a.16 b.27 c.36 d.814 已知公比為的等比數列，若，則數列是 a.公比為...