等比數列的性質總結及經典例題
1. 等比數列的前n項和公式：
(1) 當時，
(2) 當時，
（為常數）
2. 等比數列的判定方法
（1）用定義：對任意的n,都有為等比數列
（2） 等比中項：（0）為等比數列
（3） 通項公式： 為等比數列
（4） 前n項和公式： 為等比數列
6. 等比數列的證明方法
依據定義：若或為等比數列
7. 注意
（1）等比數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2。
（2）為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項；
如奇數個數成等比，可設為…，…（公比為，中間項用表示）；
8. 等比數列的性質
(1) 當時
①等比數列通項公式是關於n的帶有係數的類指數函式，底數為公比
②前n項和，係數和常數項是互為相反數的類指數函式，底數為公比
(2) 對任何m,n,在等比數列中,有,特別的,當m=1時,便得到等比數列的通項公式.因此,此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當n+m=2k時,得
(4) 注：
(4) 列,為等比數列,則數列, , , (k為非零常數) 均為等比數列.
(5) 數列為等比數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數列
(6) 如果是各項均為正數的等比數列,則數列是等差數列
(7) 若為等比數列,則數列，，，成等比數列
(8) 若為等比數列,則數列, , 成等比數列
(9) ①當時當時，
③當q=1時,該數列為常數列（此時數列也為等差數列）;
④當q<0時,該數列為擺動數列.
(10)在等比數列中, 當項數為2n (n)時, ,.
(11)若是公比為q的等比數列,則
注意：解決等比數列問題時，通常考慮兩類方法：
①基本量法：即運用條件轉化為關於和的方程；
②巧妙運用等比數列的性質，一般地運用性質可以化繁為簡，減少運算量．
例1．（1）若乙個等差數列前3項的和為34，最後三項的和為146，且所有項的和為,則這個數列有13 項；
（2）已知數列是等比數列,且, ,，則 9 ．
（3）等差數列前項和是，前項和是，則它的前項和是 210 ．
例2．若數列成等差數列，且，求．
解：（法一）基本量法（略）；
（法二）設，則
得：，， ∴，
∴．例3．等差數列中共有奇數項，且此數列中的奇數項之和為，偶數項之和為，，求其項數和中間項.
解：設數列的項數為項，
則， ∴， ∴，∴數列的項數為，中間項為第項，且．
說明：（1）在項數為項的等差數列中，；
（2）在項數為項的等差數列中．
例4．數列是首項為，公比為的等比數列，數列滿足
，（1）求數列的前項和的最大值；（2）求數列的前項和．
解：（1）由題意：，∴，∴數列是首項為3，公差為的等差數列，
∴，∴由，得，∴數列的前項和的最大值為
（2）由（1）當時，，當時，，
∴當時，
當時，∴．例5*．若和分別表示數列和的前項和，對任意自然數，有，，（1）求數列的通項公式；（2）設集合，
．若等差數列任一項是中的最大數，且，求的通項公式．
解：（1）當時：，
兩式相減得：，∴，又也適合上式，
∴數列的通項公式為．
（2）對任意，，∴，∴
∵是中的最大數，∴，設等差數列的公差為，則，
∴，即，又是乙個以為公差的等差數列，
∴，∴，∴
等比數列性質
1.等比數列的定義 稱為公比 2.通項公式 首項 公比 推廣從而得或 3.等比中項 1 如果成等比數列，那麼叫做與的等差中項 即 或 注意 同號的兩個數才有等比中項，並且它們的等比中項有兩個 兩個等比中項互為相反數 2 數列是等比數列 4.等比數列的前n項和公式 1 當時，2 當時，為常數 5.等比...
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等比數列及其性質
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