題目第三章數列等比數列
高考要求
理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，井能解決簡單的實際問題
知識點歸納
1等比數列的概念：如果乙個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（）
2等比中項：如果在與之間插入乙個數，使，，成等比數列，那麼叫做與的等比中項
也就是，如果是的等比中項，那麼，即
3等比數列的判定方法：
①定義法：對於數列，若，則數列是等比數列
②等比中項：對於數列，若，則數列是等比數列
4等比數列的通項公式：如果等比數列的首項是，公比是，則等比數列的通項為或著
5等比數列的前n項和：
當時，當時，前n項和必須具備形式
6等比數列的性質：
①等比數列任意兩項間的關係：如果是等比數列的第項，是等差數列的第項，且，公比為，則有
2 對於等比數列，若，則
也就是：
如圖所示：
③若數列是等比數列，是其前n項的和，，那麼，，成等比數列如下圖所示：
題型講解
例1等比數列中，各項均為正數，且，求
解：設等比數列首項為，公比為q，則
另法：，
將兩式相加得
又因為數列中，各項均為正數，所以＝7
例2乙個等比數列有三項，如果把第二項加上4，那麼所得的三項就成為等差數列；如果再把這個等差數列的第三項加上32，那麼所得的三項又成為等比數列，求原來的等比數列
解：設所求的等比數列為a ,aq ,aq2,
則 2(aq+4)=a+aq2 且(aq+4)2=a(aq2+32)
解得a=2 ，q=3 或a=，q=-5
故所求的等比數列為2，6,18或，-，
例3設首項為正數的等比數列，它的前n項和為80，前2n項和為6560，且前n項中數值最大的項為54，求此數列的首項和公比q
解：設等比數列｛an｝的前n項和為sn
依題意設：a1＞0，sn=80 ，s2n=6560
∵s2n≠2sn , ∴q≠1
從而=80 且=6560
兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81
∴a1=q-1＞0 即q＞1,從而等比數列｛an｝為遞增數列，故前n項中數值最大的項為第n項
∴a1qn-1=54,從而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54
∴qn-1=81-54=27
∴q==3
∴a1=q-1=2
故此數列的首為2，公比為3
例4已知數列｛an｝的前n項和sn=an+1,求a1+a3+……+a2n-1
解：當n=1時，a1=s1=a1+1即a1=；
當n≥2時，an=sn-sn-1=an-an-1 即
∴數列｛an｝是以為首項，-為公比的等比數列
∴an= (-)n-1 ,a2n-1= (-)2n-2= ()n-1
∴a1+a3+……+a2n-1==
例5 在和之間插入n個正數，使這個數依次成等比數列，求所插入的n個數之積；
解法1：設插入的n個數為，且公比為q
則解法2：設插入的n個數為，
說明：第一種解法利用等比數列的基本量，先求公比，後求其它量，這是解等差數列、等比數列的常用方法，其優點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁；第二種解法利用等比數列的性質，與「首末項等距」的兩項積相等，這在解題中常用到；
例6 設數列前n的項和為 sn，且其中m為常數，
（1）求證：是等比數列；
（2）若數列的公比滿足q=f(m)且
為等差數列，並求
解：（1）由，得
兩式相減，得
是等比數列
點評：為了求數列的通項，用取＂倒數＂的技巧，得出數列的遞推公式，從而將其轉化為等差數列的問題
例7 設數列的前n項和為sn，若是首項為s1各項均為正數且公比為q的等比數列
（１）求數列的通項公式（用s1和q表示）；
（２）試比較的大小，並證明你的結論
解：（１）∵是各項均為正數的等比數列，
∴當n=1時，a1=s1； 當∴
（２）當n=1時，∴∵
①當q=1時，
②當③當
綜上可知：當n=1時， 當
若若點評數列與比較大小的綜合是高考命題的乙個老話題，我們可以找到較好的高考真題本題求解當中用到與之間的關係式：
例8 從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，並以此發展旅遊產業，根據規劃，本年度投入資金800萬元，以後每年投入資金比上年減少本年度當地旅遊產業收入估計為400萬元，由於該項建設對旅遊的促進作用，預計今後的旅遊業收入每年會比上年增加
(ⅰ)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅遊業總收入為bn萬元寫出an、bn的表示式；
(ⅱ)至少經過幾年旅遊業的總收入才能超過總投入？
解：(ⅰ)第1年投入800萬元，
第2年投入800(1-)萬元，……，
第n年投入800(1-)n-1萬元
所以總投入為an=800+800(1-)+……+800(1-)n-1=4000[1-()n]
第1年的收入400萬元，
第2的收入400(1+)萬元，……，
第n年的收入為400(1+)n-1萬元
所以總收入bn=400+400(1+)+……400(1+)n-1=1600[()n-1]
(ⅱ)要使旅遊業的總收入超過總投入，即bn-an＞0
由(ⅰ)得1600[()n-1]-400[1-()n]＞0
化簡得，5×()n+2×()n-7＞0
設x=()n，則5x2-7x+2＞0
∴x＜或x＞1(舍) 即()n＜，故n≥5
故至少經過5年旅遊業的總收入才能超過總投入
說明：本題主要考查建立函式關係式，數列求和，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力解數學問題應用題重點在過好三關：（1）事理關：
閱讀理解，知道命題所表達的內容；（2）文理關：將「問題情景」中的文字語言轉化為符號語言，用數學關係式表述事件；（3）數理關：由題意建立相關的數學模型，將實際問題數學化，並解答這一數學模型，得出符合實際意義的解答
小結：等比數列的通項公式和前n項和公式涉及五個基本量：a1、q、n、an、sn，「知三求二」是最基本的運算，用待定係數法建立方程是重要的處理策略
學生練習
1數列1，37，314，321，……中，398是這個數列的（ ）
（a）第13項 （b）第14項 （c）第15項 （d）不在此數列中
2在公比q1的等比數列中，若am=p,則am+n的值為（ ）
（a）pqn+1 （b）pqn-1 （c）pqn （d）pqm+n-1
3若數列是等比數列，公比為q，則下列命題中是真命題的是（ ）
（a）若q>1,則an+1>anb）若0（c）若q=1,則sn+1=snd）若-14在等比數列中，a9+a10=a(a),a19+a20=b,則a99+a20的值為（ ）
（a） （b）（）9 （c） （d）（）10
5在2與6之間插入n個數，使它們組成等比數列，則這個數列的公比為
（a） （b） （c） （d）
6若x,2x+2,3x+3是乙個等比數列的連續三項，則x的值為（ ）
（a）-4 （b）-1 （c）1或4 （d）-1或-4
7已知數列是公比q的等比數列，給出下列六個數列：（1）(k) (2) (3) (4) (5) (6),其中仍能構成等比數列的個數為（ ）
（a）4 （b）5 （c）6 （d）3
8a,b,c成等比數列是b=的（ ）
（a）充分但不必要條件b）必要但不充分條件
（c）充要條件d）既不充分又不必要條件
9已知數列的前n項和為sn=b×2n+a(a0,b0),若數列是等比數例，則a、b應滿足的條件為（ ）
（a）a-b=0 （b）a-b0 （c）a+b=0 （d）a+b0
10在正項等比數列中，若s2=7,s6=91,則s4的值為（ ）
（a）28 （b）32 （c）35 （d）49
11乙個等比數列共有3n項，其前n項之積為a，次n項之積為b，末n項之積為c，則一定有（ ）
（a）a+b=c （b）a+c=2b （c）ab=c （d）ac=b2
12在等比數列中，sn=k-()n，則實數k的值為（ ）
（a） （b）1 （c） （d）2
13設為等比數列，sn=a1+…an,則在數列 中（ ）
（a）任何一項均不為零 （b）必有一項為零
（c）至多有一項為零d）或有一項為零，或有無窮多項為零
14在由正數組成的等比數列{}中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8
+log3a9的值為（ ）
（a） （b） （c）2 （d）3
15某產品每年成本降低的百分數為m,若五年後的成本是a元，則現在的成本是（ ）
（a） （b）（c） （d）
16在正項等比數列中，a21+a22+……a2n=,則a1+a2+…an的值為（ ）
（a）2n （b）2n-1 （c）2n+1 （d）2n+1-2
17數列是正數組成的等比數列，公比q=2,a1a2a3……a20=a50,，則a2a4a6……a20的值為（ ）
（a）230b）283c）2170 （d）2102-2
18在數列中，a1=2,an+1=2an+2,則a100的值為（ ）
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題目第九章 b 直線 平面 簡單幾何體平面 高考要求 1理解並會應用平面的基本性質會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖 2掌握證明關於 線共點 線共面 點共線 的方法 3會作幾何體的截面圖 知識點歸納 1 平面的概念 平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性 2 平面的畫法及其表...
高中數學複習學 教 案 第9講 反函式
題目第二章函式反函式 高考要求 1 了解反函式的概念及互為反函式的函式影象間的關係，會求一些簡單函式的反函式掌握互為反函式的函式圖象間的關係，會利用與的性質解決一些問題 2不僅從認識上，而且從處理函式問題的指導上達到從三要素總體上把握函式概念的要求，對確定函式三要素的常用方法有個系統的認識，對於給出...
高中數學複習學 教 案 第34講 不等式證明
題目第六章不等式不等式的證明 高考要求 1 通過複習不等式的性質及常用的證明方法 比較法 分析法 綜合法 數學歸納法等 使學生較靈活的運用常規方法 即通性通法 證明不等式的有關問題 2 掌握用 分析法 證明不等式 理解反證法 換元法 判別式法 放縮法證明不等式的步驟及應用範圍 3 搞清分析法證題的理...