學15高中數學必修1複習講座第十講高中數學解題方法（2） （有答案）
轉化與化歸的思想，是數學學科與其他學科相比，乙個特有的數學思想方法，化歸思想的核心是把生疏問題轉化為熟悉問題，我們平時解題的過程實質上就是乙個縮小已知與求解差異的過程，乙個生題變熟題的過程。因此，解每一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸，所以說，轉化與化歸是數學思想方法的靈魂。本計就其基本理論和其在立體幾何中的體現做一簡單介紹。
轉化、化歸的思想貫穿立體幾何的始終，是處理立體幾何問題的基本思想方法，具體體現在如下幾個方面：
（1）把立體幾何問題向平面幾何轉化，即立體問題平面化，它是解決立體幾何問題始終如一的原則。如異面直線所成的角、線面所成的角、二面角這三種空間角都是用平面角定義的，在解決有關空間角的問題時，一般是將它們轉化為平面角來處理，最終化歸為解三角形。
（2）在討論平行與垂直關係時，應注意用「線線平行線面平行面面平行」與「線線垂直線面垂直面面垂直」進行轉化。
（3）在計算立體幾何中的距離問題時，根據它們的定義都可以化歸為兩點間的距離，。例如，求異面直線的距離；或化歸為求公垂線段的長；或化歸為線面距離或麵麵距離，而這三種方法最終又化歸為兩點間的距離。
另外，等體積法、圖形語言與符號語言、文字語言的互譯等也都體現了轉化思想的應用。
例1．已知、是兩條異面直線，求證過且平行的平面必平行於過且平行的平面。
【解答】如圖1—1所示，任取點a，由推論1設點a與確定平面，且，
∥，則∥一又∵∴∥
又∵∥，，、∴∥，故原命題正確。
【點評】在麵麵關係中，要善於用和線線、線面平行的概念判定和性質進行模擬、探索、總結，特別要注意互相轉化，達到由線線、線面化歸為麵麵問題，使之統一深化。
例2.如圖1—2，在矩形abcd中，ab=，bc=3，沿對角線bd把△bcd折起使c點移到c1點，且c1在平面abd內的射影o恰好落在ab上。
（1）求證：ac1⊥bc1；
（2）求ab與平面bc1d所成的正弦值；
（3）求二面角c1—bd—a的正切值。
【解答】（1）由題意，c1o⊥面abd。又c1o面abc1，∴面abc1⊥面abd。又∵ad⊥ab，面abc1∩面abd=ab，
∴ad⊥面abc1，∴ad⊥bc1，又bc1⊥c1d，ad∩c1d=d，∴bc1⊥面ac1d，∴bc1⊥ac1。
（還可由三垂線定理證ad⊥bc1）
（2）∵bc1⊥面ac1d，bc1面bc1d， ∴面ac1d⊥面bc1d，
作ah⊥c1d，於h，則ah⊥面bc1d。鏈結bh，則bh為ab在面bc1d上的射影，
∴∠abh即為ab與面bc1d所成的角。又在rt△ac1d中，c1d=，ad=3，
∴ac1=，∴ah=， ∴sin∠abh==。即ab與面bc1d所成角的正弦值為。
（3）過o作og⊥bd於g，鏈結c1g，則c1g⊥bd。則∠c1go為二面角c1—bd—a的平面角。
在rt△ac1b中，c1o==在rt△bc1d中，c1g==。
∴og==，∴tan∠c1go==.即二面角c1—bd—a的正切值為。
【點評】（1）本題證線線垂直過程中用到了線線垂直、線面垂直、面面垂直相互轉化的思想
線線垂直線面垂直
面面垂直
（2）通過作線面角與二面角的平面角，將空間角的問題轉化為平面角處理。
例3.如圖1—3，正三稜柱abc-a1b1c1的稜長都為，d是ab的中點，鏈結a1d，dc，a1c.
（1）求證：bc1∥平面a1dc；
（2）求bc1到平面a1dc的距離
【解答】（1）鏈結ac1，交a1c於點e，則平面abc1∩平面a1dc=de.因為e是ac1的中點，d是ab的中點，所以de∥bc1.而de平面a1dc，bc1平面a1dc，
∴bc1∥平面a1dc；
（2）由（1）知bc1∥平面a1dc，所以bc1上任一點到平面a1dc的距離都是bc1到平面的距離。
所以求點b到平面a1dc的距離即可，又因為ab與平面a1dc相交於ab的中點d。
所以點a、b到平面a1dc的距離相等，因為cd⊥ab，cd⊥aa1，所以cd⊥平面a1abb1。
所以a—a1d—c是直二面角，過點a作平面a1dc的垂線，垂足h在a1d上。
在rt△a1ad上，a1a·ad=a1d·ah，
所以ah===。所以bc1到平面a1dc的距離是。
【點評】線到面的距離是轉化為點到平面的距離求解的，線段與平面交於中點時兩端點到平面的距離相等，又可化成另一端點到平面的距離。
例4. 如圖，在三稜錐s-abc中，s在底面上的射影n位於底面的高cd上，m是側稜sc上的一點，使截面mab與底面所成角等於∠nsc。求證：
sc垂直於截面mab。（83年全國高考）
samd n c
b【證明】由已知可得：sn⊥底面abc，ab⊥cd，cd是斜線sc在底面ab的射影，
∴ ab⊥sc。∵ ab⊥sc、ab⊥cd∴ ab⊥平面sdnc∴ ∠mdc就是截面mab與底面所成的二面角
由已知得∠mdc＝∠nsc 又∵ ∠dcm＝∠scn∴ △dcm≌△scm∴ ∠dmc＝∠snc＝rt∠
即 sc⊥dm所以sc⊥截面mab。
練習1. 正三稜錐a-bcd，底面邊長為a，側稜為2a，過點b作與側稜ac、ad相交的截面，在這樣的截面三角形中，求周長的最小值。
解析：沿側稜ab把正三稜錐的側面剪開展成平面圖.如圖1，當周長最小時，ef在直線bb′上，∵δabe≌δb′af，∴ae＝af，ac＝ad，∴b′b∥cd，∴∠1＝∠2＝∠3，∴be＝bc＝a，同理b′f＝b′d＝a.
∵δfdb′∽δadb′，∴＝，＝＝,∴df＝a,af＝a.又∵δaef∽δacd，∴bb′＝a+a+a＝a,∴截面三角形的周長的最小值為a.
評析把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉化為平面上兩點間距離的問題，從而使問題得到解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法.
又如異面直線所成的角、線面角、面面角的計算，最終都是轉化為平面上兩相交直線成的角來進行的。
實現空間問題向平面問題轉化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展開法和輔助面法等等。
2、位置關係的轉化
線線、線面、面面平行與垂直的位置關係既互相依存，又在一定條件下不僅能縱向轉化：線線平行（或垂直） 線面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且還可以橫向轉化：線線、線面、麵麵的平行 ; 線線、線面、麵麵的垂直。
這些轉化關係在平行或垂直的判定和性質定理中得到充分體現。平行或垂直關係的證明（除少數命題外），大都可以利用上述相互轉化關係去證明。
2. 如圖，正方體abcd—a1b1c1d1中，e在ab1上，f在bd上，且b1e＝bf.
求證：ef∥平面bb1c1c.
證法一：連af延長交bc於m，鏈結b1m.∵ad∥bc∴△afd∽△mfb∴又∵bd＝b1a，b1e＝bf
∴df＝ae∴∴ef∥b1m，b1m平面bb1c1c∴ef∥平面bb1c1c.
證法二：作fh∥ad交ab於h，鏈結he∵ad∥bc∴fh∥bc，bcbb1c1c∴fh∥平面bb1c1c
由fh∥ad可得又bf＝b1e，bd＝ab1∴∴eh∥b1b，b1b平面bb1c1c∴eh∥平面bb1c1c，
eh∩fh＝h∴平面fhe∥平面bb1c1c ef平面fhe∴ef∥平面bb1c1c
說明：證法一用了證線面平行，先證線線平行.證法二則是證線面平行，先證麵麵平行，然後說明直線在其中乙個平面內.
3、位置關係中的定性與定量的轉化
立體幾何中對點、線、面在空間中特定位置關係的研究是從定性和定量兩個方向進行的。這兩者既有聯絡又有區別，在一定條件下還可以互相轉化。 線線、線面、面面平行,這些定性描述,表示線線、線面、麵麵的成角是0°,反之則不然；線線、線面、麵麵的成角是90°，這些量的結果，則反映了它們的垂直關係，反之亦然。
可見教材中深刻地蘊含著位置關係中的定性與定量的轉化關係。
3. 空間四邊形pabc中，pa、pb、pc兩兩相互垂直，∠pba＝45°，∠pbc＝60°，m為ab的中點.(1)求bc與平面pab所成的角；(2)求證：ab⊥平面pmc.
解析：此題資料特殊，先考慮資料關係及計算、發現解題思路.
解 ∵ pa⊥ab，∴∠apb＝90°在rtδapb中，∵∠abp＝45°，設pa＝a，
則pb＝a,ab＝a,∵pb⊥pc，在rtδpbc中，∵∠pbc＝60°,pb＝a.∴bc＝2a,pc＝a.
∵ap⊥pc ∴在rtδapc中，ac＝＝＝2a
(1)∵pc⊥pa,pc⊥pb,∴pc⊥平面pab，∴bc在平面pbc上的射影是bp.
∠cbp是cb與平面pab所成的角∵∠pbc＝60°，∴bc與平面pba的角為60°.
(2)由上知，pa＝pb＝a,ac＝bc＝2a.∴m為ab的中點，則ab⊥pm，ab⊥cm.∴ab⊥平面pcm.
說明要清楚線面的垂直關係，線面角的定義，通過資料特點，發現解題捷徑.
4.如圖9－19，在稜長為a的正方體abcd—中，o是ac、bd的交點，e、f分別是ab與ad的中點．
高中數學總複習彙總 必修1 5
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