高中數學總複習資料彙總（必修1-5 ）
高考數學複習必修1
第一章、集合
一、基礎知識（理解去記）
定義1 一般地，一組確定的、互異的、無序的物件的全體構成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個物件稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合a中，稱屬於a，記為，否則稱不屬於a，記作。
例如，通常用n，z，q，b，q+分別表示自然數集、整數集、有理數集、實數集、正有理數集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。
集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一枚舉出來寫在大括號內並用逗號隔開表示集合的方法，如；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內表示集合的方法。
例如，分別表示有理數集和正實數集。
定義2 子集：對於兩個集合a與b，如果集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素，則a叫做b的子集，記為，例如。規定空集是任何集合的子集，如果a是b的子集，b也是a的子集，則稱a與b相等。
如果a是b的子集，而且b中存在元素不屬於a，則a叫b的真子集。
便於理解：包含兩個意思：①a與b相等 、②a是b的真子集
定義3 交集，
定義4 並集，
定義5 補集，若稱為a在i中的補集。
定義6 集合記作開區間，集合
記作閉區間，r記作
定義7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
補充知識點對集合中元素三大性質的理解
（1）確定性
集合中的元素，必須是確定的．對於集合和元素，要麼，要麼，二者必居其一．比如：「所有大於100的數」組成乙個集合，集合中的元素是確定的．而「較大的整數」就不能構成乙個集合，因為它的物件是不確定的．再如，「較大的樹」、「較高的人」等都不能構成集合．
（2）互異性
對於乙個給定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何兩個相同的物件在同一集合中時，只能算作這個集合中的乙個元素．如：由，組成乙個集合，則的取值不能是或1．
（3）無序性
集合中的元素的次序無先後之分．如：由組成乙個集合，也可以寫成組成乙個集合，它們都表示同乙個集合．
幫你總結：學習集合表示方法時應注意的問題
（1）注意與的區別．是集合的乙個元素，而是含有乙個元素的集合，二者的關係是．
（2）注意與的區別．是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合．
（3）在用列舉法表示集合時，一定不能犯用｛實數集｝或來表示實數集這一類錯誤，因為這裡「大括號」已包含了「所有」的意思．
用特徵性質描述法表示集合時，要特別注意這個集合中的元素是什麼，它應具備哪些特徵性質，從而準確地理解集合的意義．例如：
集合中的元素是，這個集合表示二元方程的解集，或者理解為曲線上的點組成的點集；
集合中的元素是，這個集合表示函式中自變數的取值範圍；
集合中的元素是，這個集合表示函式中函式值的取值範圍；
集合中的元素只有乙個（方程），它是用列舉法表示的單元素集合．
（4）常見題型方法：當集合中有n個元素時，有2n個子集，有2n-1個真子集，有2n-2個非空真子集。
二、基礎例題（必會）
例1 已知，，求．
正解：，
， ，，
．解析：這道題要注意研究的元素（看豎線前的元素），均是y，所以要求出兩個集合中y的範圍再求交集，a中的y範圍是求表示式的值域、因此此題是表示兩個函式值域的集合．
例2 若，
，且，試求實數．
正解：∵a∩b=｛2，5｝，∴由，
解得或．
當a=1時，與元素的互異性矛盾，故捨去；
當時，，此時，這與矛盾，故又捨去；
當時，，，此時滿足題意，故為所求．
解析：此題緊緊抓住集合的三大性質：①確定性 ②互異性 ③無序性
三、趨近高考（必懂）
1.（2023年江蘇高考1）設集合a=，b=,a∩b=，則實數a
方法：將集合b兩個表示式都等於3，且抓住集合三大性質。【答案】1.
2.（2010.湖北卷2.）設集合a=，b=,則a∩b的子集的個數是（ ）
a. 4 b.3 c.2 d.1
方法：注意研究元素，是點的形式存在，a是橢圓，b是指數函式，有數形結合方法，交於兩個點，說明集合中有兩個元素，還要注意，題目求子集個數，所以是22=4【答案】a
集合穿針轉化引線（最新）
一、集合與常用邏輯用語
3.若，則是的（ ）．
（a）充分條件b）必要條件
（c）充要條件d）既不充分又不必要條件
解析：∵，即或，
∴．∵，即或，
∴．由集合關係知：，而．
∴是的充分條件，但不是必要條件．故選（ａ）．
4. 若，則「」是「方程表示雙曲線」的（ ）．
（a）充分條件b）必要條件
（c）充要條件d）既不充分又不必要條件
解析：方程表示雙曲線
或．故選（a）．
二、集合與函式
5.已知集合，那麼等於（ ）．
（a）（0，2），（1，1） （b）｛（0，2），（1，1）｝
（c）｛1，2d）
解析：由代表元素可知兩集合均為數集，又p集合是函式中的y的取值範圍，故p集合的實質是函式的值域．而q集合則為函式的定義域，從而易知，選（d）．
評注：認識乙個集合，首先要看其代表元素，再看該元素的屬性，本題易因誤看代表元素而錯選（ｂ）或（ｃ）．
三、集合與方程
6.已知，且，求實數p的取值範圍．
解析：集合a是方程的解集，
則由，可得兩種情況：
①，則由，得 ；
②方程無正實根，因為，
則有於是．
綜上，實數p的取值範圍為．
四、集合與不等式
7. 已知集合，
若，求實數m的取值範圍．
解析：由不等式恆成立，
可得 （1）當，即時，（※）式可化為，顯然不符合題意．
（2）當時，欲使（※）式對任意x均成立，必需滿足
即 解得 ．
集合b是不等式的解集，
可求得，
結合數軸，只要即可，解得 ．
五、集合與解析幾何
例6 已知集合和，
如果，求實數m的取值範圍．
解析：從代表元素看，這兩個集合均為點集，又及是兩個曲線方程，故的實質為兩個曲線有交點的問題，我們將其譯成數學語言即為：「拋物線與線段有公共點，求實數m的取值範圍．」
由，得∵，∴方程①在區間［0，2］上至少有乙個實數解．
首先，由，得或．
當m≥3時，由及知，方程①只有負根，不符合要求；
當時，由及知，方程①有兩個互為倒數的正根，故必有一根在區間內，從而方程①至少有乙個根在區間［0，2］內．
綜上，所求m的取值範圍是．
第二章、函式
一、基礎知識（理解去記）
定義1 對映，對於任意兩個集合a，b，依對應法則f，若對a中的任意乙個元素x，在b中都有唯一乙個元素與之對應，則稱f: a→b為乙個對映。
定義2 函式，對映f: a→b中，若a，b都是非空數集，則這個對映為函式。a稱為它的定義域，若x∈a, y∈b，且f(x)=y（即x對應b中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。
集合叫函式的值域。通常函式由解析式給出，此時函式定義域就是使解析式有意義的未知數的取值範圍，如函式y=3-1的定義域為.
定義3 反函式，若函式f: a→b（通常記作y=f(x)）是一一對映，則它的逆對映f-1: a→b叫原函式的反函式，通常寫作y=f-1(x).
這裡求反函式的過程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然後將x, y互換得y=f-1(x)，最後指出反函式的定義域即原函式的值域。例如：
函式y=的反函式是y=1-(x0).
補充知識點：
定理1 互為反函式的兩個函式的圖象關於直線y=x對稱。
定理2 在定義域上為增（減）函式的函式，其反函式必為增（減）函式。
定義4 函式的性質。
（1）單調性：設函式f(x)在區間i上滿足對任意的x1, x2∈i並且x1< x2，總有f(x1)f(x2))，則稱f(x)在區間i上是增（減）函式，區間i稱為單調增（減）區間。
（2）奇偶性：設函式y=f(x)的定義域為d，且d是關於原點對稱的數集，若對於任意的x∈d，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函式；若對任意的x∈d，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函式。奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱。
（3）週期性：對於函式f(x)，如果存在乙個不為零的常數t，使得當x取定義域內每乙個數時，f(x+t)=f(x)總成立，則稱f(x)為週期函式，t稱為這個函式的週期，如果週期中存在最小的正數t0，則這個正數叫做函式f(x)的最小正週期。
定義5 如果實數aa}記作開區間（a, +∞），集合記作半開半閉區間（-∞,a].
定義6 函式的圖象，點集稱為函式y=f(x)的圖象，其中d為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函式y=f(x)的圖象與其他函式圖象之間的關係(a,b>0)；
（1）向右平移a個單位得到y=f(x-a)的圖象；
（2）向左平移a個單位得到y=f(x+a)的圖象；
（3）向下平移b個單位得到y=f(x)-b的圖象；
（4）與函式y=f(-x)的圖象關於y軸對稱；
（5）與函式y=-f(-x)的圖象關於原點成中心對稱；
（6）與函式y=f-1(x)的圖象關於直線y=x對稱；（7）與函式y=-f(x)的圖象關於x軸對稱。
定理3 復合函式y=f[g(x)]的單調性，記住四個字：「同增異減」。例如y=, u=2-x在（-∞,2）上是減函式，y=在（0，+∞）上是減函式，所以y=在（-∞,2）上是增函式。
注：復合函式單調性的判斷方法為同增異減。這裡不做嚴格論證，求導之後是顯然的。
高中數學必修15知識總結
第一章集合與函式概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含義與表示 1 集合的概念 集合中的元素具有確定性 互異性和無序性.2 常用數集及其記法 表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.3 集合與元素間的關係 物件與集合的關係是，或者，兩者必居其一.4 集合的表示法 自然語...
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必修1數學知識點 第一章 集合與函式概念 1.1.1 集合 1 把研究的物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素 確定性 互異性 無序性。2 只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。3 常見集合 正整數集合 或，整數集合 有理數集合 實數集合 4 集合的表示方法 列舉法 ...