高中數學必修內容複習(12)——極限
一、選擇題
1.設f(x)=若f(x)存在,則常數b的值是
a.0b.1c.－1d.e
2.數列1的前n項和為sn,則sn等於
a.0bc.1d.2
3. ()等於
a.0b.－1c.1d.不存在
4.若數列的通項公式是an=,n=1,2,…,則(a1+a2+…+an)等於
abcd.
5.設p(n)=1++…+,在用數學歸納法證明p(n)＞的過程中,從p(k)到p(k+1)要新增的項是
ab. cd. +…+
6.用記號「」表示求兩個實數a與b的算術平均數的運算, 即ab=.已知數列滿足x1=0,x2=1,xn=xn－1xn－2(n≥3),則xn等於
a.0bcd.1
7.設函式f(x)=則下列結論不正確的是
a. f(x)=1 b. f(x)=0 c. f(x)=1 d. f(x)=2
8. ()n=0,則a的取值範圍是
a.a=1b.a＜－1或a＞ c.－1＜ad.a＜－或a＞1
9.已知f(x)=x2,則等於
a.xb.2xcd.－
10. 等於
a.0b.1c.2d.3
11.下列無窮數列中,極限不存在的數列是
a.1,－, ,－,(－1)n+1b.3,3,3,3,…,3,…
c.3d.1,0,－1,0,…,sin,…
12.若an=3且bn=－1,那麼(an+bn)2等於
a.4b.－4c.16d.－16
13.若f(x)=在x=2處連續,則實數a、b的值是b
a.－1,2b.0,2c.0,－2d.0,0
14.等差數列、的前n項和分別為sn和tn,若=,則的值等於
a.1bcd.
15.某個命題與正整數n有關,若n=k(k∈n*)時,該命題成立,那麼可推得n=k+1時,該命題也成立.現在已知當n=5時,該命題不成立,那麼可推得
a.當n=6時該命題不成立 b.當n=6時該命題成立c.當n=4時該命題不成立 d.當n=4時該命題成立
16、的值為
a.3b.－3c.－2d.不存在
17.函式f(x)=的不連續點是
a.x=2b.x=－2 c.x=2和x=－2 d.x=4
18.欲用數學歸納法證明:對於足夠大的自然數n,總有2n>n3,n0為驗證的第乙個值,則
a.n0=1 b.n0為大於1小於10的某個整數 c.n0≥10 d.n0=2
19.已知乙個數列的通項公式為f(n),n∈n＊,若7f(n)=f(n－1)(n≥2)且f(1)=3,則［f(1)+f(2)+…+f(n)］等於
abc.－7d.－
20. (2x+1)n=0成立的實數x的範圍是a.x=－ b.－＜x＜0 c.－1＜x＜0 d.－1＜x≤0
二、填空題
2122
23.已知=,則a的值為
24.如下圖所示,在楊輝三角中,斜線ab上方的數組成數列1,3,6,10,…,記這個數列前n項的和為sn,則等於
2526
27.用數學歸納法證明「1+a+a2+…+an+1= (a≠1且n∈n*)」,在驗證n=1時,左邊計算所得的結果是
28三、解答題
29. f(x)為多項式且=1, =5,求f(x)的表示式.
30.已知數列的前n項和為sn,an=5sn－3(n∈n),求(a1+a3+a5+…+ a2n－1)的值.
31.平面內有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點,求證:這n條直線把平面分成f(n)=個部分.
32. 已知數列、,其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),試問是否存在這樣的自然n,使得an=bn成立？如果有？有多少個？說明理由。
33.已知數列、都是無窮等差數列,其中a1=3,b1=2,b2是a2與a3的等差中項,且.求極限(+…+)的值.
34.(本小題8分)討論函式f(x)=在x=2處的左極限、右極限以及在x=2處的極限.
35.用數學歸納法證明：1－+…++…+.
36.求下列極限：(1) (+…+);(2) (－n－1).
37.求證:對於正整數n,11n+2+122n+1能被133整除.
38.已知=n,求m、n的值.
答案一、 選擇題
1d2d3b4c5d6a7b8b9b10c11d12a13b 14c 15 c 16b 17c 18c 19a 20c
二、 填空題
21、0 22、－2 23、 24、6 25、 26、 27、 1+a+a2 28、
29、分析:本題要求深刻理解函式極限定義.根據已知的極限,設出f(x)－4x3的表示式,利用待定係數法求解.
解:∵f(x)是多項式,且=1,
∴可設f(x)－4x3=x2+ax+b(a,b為待定係數),即f(x)=4x3+x2+ax+b5分
又=5,即(4x2+x+a+)=5.
得故f(x)=4x3+x2+5x8分
30、分析：由式子an=5sn－3,易得到an與sn的關係式.由an=sn－sn－1(n≥2),利用此式,再對 n進行合適的賦值,便可消去sn,得到的遞推關係式,進而確定數列,再求a1+a3+a5+…+a2n－1).
解:a1=s1,an=sn－sn－1(n≥2).
又已知an=5sn－3,
∴an－1=5sn－1－3(n≥2).
兩式相減,得an－an－1=5(sn－sn－1)=5an(n≥2).
∴an=－an－1(n≥23分
由a1=5s1－3及a1=s1,得a1=.
可見是首項為,公比q=－的等比數列6分
∴a1+a3+a5+…+a2n－1是首項為,公比為q2=(－)2=的等比數列8分
由於|q2|<1,
∴(a1+a3+a5+…+a2n－110分
31、分析:用數學歸納法證明幾何問題,重難點是處理好當n=k+1時利用歸納假設結合幾何知識證明命題成立.
證明:①當n=1時,一條直線將平面分成兩個部分,而
f(1)= =2.
∴命題成立2分
②假設當n=k時,命題成立,即k條直線把平面分成f(k)=個部分.
則當n=k+1時,即增加一條直線l,因為任何兩條直線不平行,所以l與k條直線都相交有k個交點；又因為任何三條不共點,所以這k個交點不同於k條直線的交點,且k個交點也互不相同.如此這k個交點把直線l分成k+1段,每一段把它所在的平面區域分為兩部分,故新增加的平面為k+1個部分8分
∴f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1
=.∴n=k+1時命題成立11分
由①②知當n∈n*時,命題成立12分
32、分析：對n賦值後,比較幾對an與bn的大小,可作出合理猜測,再用數學歸納法予以證明.
解:an=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2,
當n=5時,a5=36,b5=25+4=36,此時a5=b5;
當n=6時,a6=49,b6=26+4=68,此時a6當n=7時，a7=64,b7=27+4=132,此時a7當n=8時,a8=81,b8=28+4=260,此時a8猜想:當n≥6時,有an下面用數學歸納法證明上述猜想.
①當n=6時,顯然不等式成立,∴n=6時,不等式an②假設當n=k(k≥6)時,不等式成立,即ak2(k+1)2－4=2k2+4k－2,
而(2k2+4k－2)－(k+2)2=k2－6>0(∵k≥6,∴k2≥6),
即2k2+4k－2>(k+2)2=［(k+1)+1］2.
由不等式的傳遞性,知bk+1>［(k+1)+1］2=ak+1.
∴當n=k+1時,不等式也成立11分
由①、②可知,對一切n∈n,且n≥6,都有an綜上所述,可知只有當n=5時,即只有乙個自然數，使得an=bn成立12分
33、分析:首先需求出an、bn的表示式,以確定所求極限的表示式,為此,關鍵在於求出兩個數列的公差,「b2是a2與a3的等差中項」已給出乙個等量關係,「an與bn之比的極限為」又給出了另乙個等量關係,故可考慮先設出公差用二元方程組求解.
解:設、的公差分別為d1、d2,
∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),
∴2d2－3d1=23分
又=即d2=2d16分
聯立①、②解得d1=2,d2=4.
∴an=a1+(n－1)d1=3+(n－1)·2=2n+1,
bn=b1+(n－1)d2=2+(n－1)·4=4n－28分
∵,∴(+…+)= (112分
34、分析:本題考查函式在某一點處的極限,左、右極限的定義及其相互關係.
f(x)=af(x)= f(x)=a.
對於常見函式,可先畫出它的圖象,觀察函式值的變化趨勢,利用極限的定義確定各種極限.
解:當x→2－時,函式無限接近於0,即f(x)=03分
當x→2＋時,函式無限接近於2,
即f(x)=2.
綜上,可知f(x)≠f(x6分
∴函式f(x)在x=2處極限不存在8分
35、分析:本題考查利用數學歸納法證明代數恒等式.當自變數取n時,它的左邊是2n項和差的形式.
故當n=1時,左邊保留兩項；當n=k到n=k+1時新增兩項.合理運用歸納假設進行化簡的關鍵是瞄準右邊的目標,為達到目標,看哪些是不變的,哪些是變化的,化簡變化的部分直至同目標一致為止.
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