高中數學必修內容複習（14）——複數
一、選擇題
１.（2000京皖春，1）複數z1＝3＋i，z2＝1－i，則z＝z1·z2在復平面內的對應點位於（ ）
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限d.第四象限
２．（2002全國，2）複數（i）3的值是（ ）
a. －ib.ic.－1d.1
３.（2003上海春，14）複數z=（m∈r，i為虛數單位）在復平面上對應的點不可能位於（ ）
a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限
４.（1996全國，4）複數等於（ ）
a.1+ib.－1+i
c.1－id.－1－i
５.若複數是虛數，則
a． b．
c． d．
６.已知=a+3i,則a等於
a.－ib.－5ic.－2－3id.2－3i
７.複數的值是
a.－16b.16cd.－i
８.複數(1+)4的值是
a.4ib.－4ic.4d.－4
９.已知z1=m2－3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m為實數,i為虛數單位,若z1－z2=0,則m的值為
a.4b.－1c.6d.0
１０.設z∈c,若z2為純虛數，則z在復平面上的對應點落在
a.實軸上b.虛軸上
c.直線y=±x(x≠0)上d.以上都不對
1１.當z=－時,z100+z50+1的值等於
a.1b.－1c.id.－i
１２.設ω=－+i,a=,則集合a中的元素有
a.1個b.2個c.3個d.4個
１３.過原點和－i對應點的直線的傾斜角是
abcd.
１４.已知複數z=3+4i且z(t－i)是實數,則實數t等於
abcd.－
１５.i是虛數單位,等於
a.2ib.－2ic.id.－i
１６.已知複數z與(z+2)2－8i均是純虛數,則z等於
１７.已知z1=2－i,z2=1+3i，則複數的虛部為
a.1b.－1c.id.－i
18．(2023年春考·北京卷·理1文1)的共軛複數是
ab．cd．19．(2023年高考·福建卷·理1)複數的共軛複數是
a． b． c． d．
20．(2023年高考·廣東卷2)若，其中a、b∈r，i是虛數單位，則
a．0 b．2 c． d．5
21．(2023年高考·湖北卷·理3)
a． b． c． d．
22．(2023年高考·湖南卷·理1)複數z＝i＋i2＋i3＋i4的值是
a．－1 b．0 c．1 d．i
23．(2023年高考·遼寧卷1)複數在復平面內，z所對應的點在
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
24．(2023年高考·江西卷·理2)設複數：為實數，則x
a．－2 b．－1 c．1 d．2
25．(2023年高考·重慶卷·理2
a． b．－ c． d．－
26．(2023年高考·浙江卷·理4)在復平面內，複數＋(1＋i)2對應的點位於
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
27．(2023年高考·山東卷·理1
a． b． c．1 d．
28．(2023年高考·天津卷·理2)若複數（a∈r，i為虛數單位位）是純虛數，則實數a的值為
a．－2 b．4 c．－6 d．6
29．(2023年高考·全國卷ⅰ·理12)複數
a． b． c． d．
30．(2023年高考·全國卷ii·理5)設a、b、c、d∈r，若為實數，則
a．bc+ad≠0 b．bc－ad≠0 c．bc－ad=0 d．bc+ad=0
二、填空題
1.（1995上海，20）複數z滿足（1+2i）=4+3i，那麼z=_____.
2.已知複數(2k2－3k－2)+(k2－k)i在復平面內對應的點在第二象限，則實數k的取值範圍是
3.定義運算=ad－bc,則對複數z=x+yi(x、y∈r)符合條件=3+2i的複數z等於
４.已知z∈c,且(3+2z)i2005=1(i為虛數單位),則z
５.復平面內，已知複數z=x－i所對應的點都在單位圓內，則實數x的取值範圍是
６.8+6i的平方根是
７.設z=－1+()2003,則z
８.（2002上海，1）若z∈c，且（3＋z）i＝1（i為虛數單位），則z
９.（2001上海春，2）若複數z滿足方程i=i－1（i是虛數單位），則z=_____.
１０.（1997上海理，9）已知a=（i是虛數單位），那麼a4=_____.
１１.（1995上海，20）複數z滿足（1+2i）=4+3i，那麼z=_____.
12．(2023年高考·北京卷·理9)若為純虛數，則實數a的值為
13．(2023年高考·全國卷ⅲ·理13)已知複數
三、解答題
1.（2002江蘇，17）已知複數z＝1＋i，求實數a，b使az＋2b＝（a＋2z）2．
2.（1996上海理，22）設z是虛數，w=z+是實數，且－1＜ω＜2.求z的實部的取值範圍。
3.（1994全國理，21）已知z=1+i，
（ⅰ）求w=z2+3－4，
（ⅱ）如果=1－i，求實數a，b的值.
４.已知z=,求1+z+z2+…+z2003的值.
５.若複數x+yi=(1+cosθ)+(t－cos2θ)i(其中x、y、θ∈r),且點(x,y)在拋物線y=x2上,試求實數t的最大值與最小值.
６.已知關於x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有實根，求這個實根以及實數k的值.
７.若虛數z同時滿足下列兩個條件：
①z+是實數；
②z+3的實部與虛部互為相反數.
這樣的虛數是否存在？若存在，求出z;若不存在，請說明理由.
８.已知關於x的方程x2+(1+2i)x－(3m－1)i=0有實根,試求純虛數m的值.
９.若z∈c,且(3+z)i=1(i為虛數單位),試求複數z.
１０.已知z= (a>0,a∈r),複數ω=z(z+i)的虛部減去它的實部所得的差是，求複數ω.
１１.若(3－10i)y+(－2+i)x=1－9i,求實數x、y的值.
１２.已知複數z1滿足(z1－2)i=1+i，複數z2的虛部為2，且z1·z2是實數，求複數z2.
１３.實數m分別取什麼數時，複數z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是①實數；②虛數；③純虛數；④對應的點在第三象限；⑤對應的點在直線x+y+4=0上；⑥共軛複數的虛部為12.
14. (本題滿分12分) (2023年春考·上海卷17)
已知是複數，均為實數（為虛數單位），且複數在復平面上對應的點在第一象限，求實數的取值範圍.
15．（本題滿分12分）(2023年高考·上海卷·理18)
證明：在複數範圍內，方程（為虛數單位）無解.
16．（本題滿分12分）(2023年高考·上海卷·文18)
在複數範圍內解方程（為虛數單位）.
參***
一、選擇題
5、d 6、c 7、a 8、b 9、d １０、 c
１１、a １２、 d １３、 ba 18、 d 19、b 20、 d
21、c 22、 b23、 b 24、 a 25、 a 26、b 27、d28、c 29、d 30、c
二、填空題
1、2+i ２、(－,0)∪(1,2) ３、ii ５、－
６、±(3+i) ７、－1－i ８、z＝－3－i ９、1－i １０、－4 １１、2+i
12、13、
三、解答題
1、解：∵z＝1＋i，
∴az＋2b＝（a＋2b）＋（a－2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
因為a，b都是實數，所以由az＋2b＝（a＋2z）2得
兩式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，
對應得b1＝－1，b2＝2．
所以，所求實數為a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2．
2.解：設z=a+bi，a、b∈r，b≠0
則w=a+bi+
因為w是實數，b≠0，所以a2＋b2=1，
即|z|=1.
於是w=2a，－1＜w=2a＜2，－＜a＜1，
所以z的實部的取值範圍是（－，1）.
3.解：（ⅰ）由z=1+i，有w=（1+i）2＋3（1－i）－4=－1－i，
（ⅱ）由z=1+i，有
＝（a＋2）－（a＋b）i
由題設條件知，（a+2）－（a+b）i=1－i.
根據複數相等的定義，得
解得所以實數a，b的值分別為－1，2.
４.分析:本題考查複數ω的運算.數列中的諸性質在複數中也成立.將z轉化為我們熟悉的ω，利用我們已經掌握的ω性質解之較為簡單.
解:z4分
原式==08分
５.分析:本題以複數的幾何意義為載體考查如何建立目標函式及求函式的最值問題.
解:根據兩個複數相等的條件,得2分
因為點(x,y)在拋物線上,所以t－cos2θ=(1+cosθ)24分
故t=(1+cosθ)2+cos2θ=1+2cosθ+cos2θ+2cos2θ－1=3cos2θ+2cosθ=3(cosθ+)28分
由於cosθ∈［－1,1］,
所以當cosθ=－時,t有最小值－;
當cosθ=1時,t有最大值512分
６.分析:本題考查兩個複數相等的充要條件.方程的根必適合方程，設x=m為方程的實根，代入、整理後得a+bi的形式，再由複數相等的充要條件得關於k、m的方程組，求解便可.
解:設x=m是方程的實根，代入方程得2分
m2+(k+2i)m+2+ki=0,
即(m2+km+2)+(2m+k)i=07分
由複數相等的充要條件得9分
解得或11分
∴方程的實根為x=或x=－,相應k的值為－2或212分
７.分析:本題考查複數的運算及複數的概念.它是乙個探索性問題，解題的思路是首先假設結論是成立的，若匯出矛盾，說明假設不成立，否則假設成立.
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