第二章點線面位置關係總複習
1、（1）平面含義：另外，注意平面的表示方法。（2）點與平面的關係：點a在平面內，記作；點不在平面內，記作
點與直線的關係：點a的直線l上，記作：a∈l；點a在直線l外，記作al；
直線與平面的關係：直線l在平面α內，記作lα；直線l不在平面α內，記作lα。
2、四個公理與等角定理：
（1）[, , , ]
符號表示為
a∈l b∈l l α
a∈α b∈α
公理1作用：判斷直線是否在平面內.（只要找到直線的兩點在平面內，則直線在平面內）
（2）[, , ]
符號表示為：a、b、c三點不共線 => 有且只有乙個平面α，
使a∈α、b∈α、c∈α。
公理2的三個推論：（1）：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有乙個平面。
（2）：經過兩條相交直線，有且只有乙個平面。
（3）：經過兩條平行直線，有且只有乙個平面。
公理2作用：確定乙個平面的依據。
（3）[, , ] 符號表示為：p∈α∩β =>α∩β=l，且p∈l
公理3說明：兩個不重合的平面只要有公共點，那麼它們必定交於一條過該公共點的直線，且線唯一。
公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據，是證明三線共點、三點共線的依據。
即：①判定兩個平面相交的方法。
②說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關係：交線必過公共點。
③可以判斷點在直線（交線）上，即證若干個點共線的重要依據。
（4）[, , ]
符號表示為：設a、b、c是三條直線
a∥bc∥b
強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。
公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。（表明空間中平行於一條已知直線的所有直線都互相平行）
（5）[, ]
3、（1）證明共面問題：
方法1是先證明由某些元素確定乙個平面，在證明其餘元素也在這個平面內。
方法2是先證明分別由不同元素確定若干個平面，再證明這些平面重合。
（2）證明三點共線問題的方法：先確定其中兩點在某兩個平面的交線上，再證明第三點是這兩個平面的公共點，則第三個點在必然在這兩個平面的交線上。
（3）證明三線共點問題的方法：先證明其中兩條直線交於一點，再證明第三條直線也經過這個點。
[, , ]：不同在任何乙個平面內的兩條直線。（既不平行也不相交的兩條直線）
① 異面直線定義：不同在任何乙個平面內的兩條直線
② 異面直線性質：既不平行，又不相交。
③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該點的直線是異面直線
④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點o，分別引直線a』∥a，b』∥b，則把直線a』和b』所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。
兩條異面直線所成角的範圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。（兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形）
說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理
（2）在異面直線所成角定義中，空間一點o是任取的，而和點o的位置無關。
（3）求異面直線所成角步驟：（一作、二證、三計算）
第一步作角：先固定其中一條直線，在這條直線取一點，過這個點作另一條直線的平行先；或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。第二步證明作出的角即為所求角。
第三步利用三角形邊長關係計算出角。（思路是把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角）
5、（1）空間兩條直線的位置關係有且只有三種：
相交直線：同一平面內，有且只有乙個公共點；
平行直線：同一平面內，沒有公共點；
異面直線：不同在任何乙個平面內，沒有公共點。
（2）直線與平面的位置關係有且只有三種：
①直線在平面內——有無數個公共點
②直線與平面相交 —— 有且只有乙個公共點
③直線在平面平行 —— 沒有公共點
指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用a α來表示
三種位置關係的符號表示：aα a∩α＝a a∥α
注意直線與平面的位置關係其他分類：（1）按直線與平面的公共點數分類：
（自己補充2）按直線是否與平面平行分類：
（3）按直線是否在平面內分類：
（3）平面與平面之間的位置關係有且只有兩種：（按有無公共點分類）
①兩個平面平行——沒有公共點；α∥β。
②兩個平面相交——有一條公共直線；α∩β＝b。
6、[, , , , ]
①線線平行的定義：兩條直線共面，但是無公共點 ②公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行
③線面平行的性質定理線面垂直的性質定理
面面平行的性質定理：
[, , ]
平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行
證明線面平行，只要在平面內找一條直線b與直線a平行即可。一般情況下，我們會用到中位線定理、平行線段成比例問題、平行公理等。
如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。 線面平行線線平行
性質定理的作用：利用該定理可解決直線間的平行問題
線面平行的判定方法：
①線面平行的定義：直線與平面無公共點 ②判定定理：
③面面平行的性質：
[, , ]
面面平行的判定定理：如果乙個平面內的兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行
（線面平行面面平行），
兩個平面平行的性質定理與結論：
①如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。（面面平行→線線平行）
②如果兩個平面平行，那麼某乙個平面內的直線與另乙個平面平行。（面面平行→線面平行）
面面平行的判定方法：
①面面平行的定義：兩個平面無公共點判定定理：
③線面垂直的性質定理： ④公理四的推廣：
7、線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。
②線面垂直：如果一條直線和乙個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。
③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。
[, , , , ]
①線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角。（共面垂直、異面垂直）
②線面垂直的性質：
②線面垂直的性質：
[, , ]
判定定理：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直這個平面。
判定線面垂直，只要在平面內找到兩條相交直線與已知直線垂直即可（注意：兩條直線必須相交）
經常用到的知識點有：
①等腰三角形三線合一（中線，角平分線，高），如果取等腰三角形底邊的中點，連線頂點與中點的線既是中線也是高，所以，這條線垂直於底邊；
②正方形的對角線是互相垂直的；③三角形勾股逆定理,可以推出a邊與b邊垂直；
④如果是要證異面垂直的兩條直線，一般採用線面垂直來證明一條線垂直於另一條線所在的平面，從而得到兩條異面直線垂直；
採用三垂線定理或者其逆定理得到兩條直線垂直。
性質定理：如果兩條直線同垂直於乙個平面，那麼這兩條直線平行。
線面垂直的判定方法：
①線面垂直的定義 ②線面垂直的判定定理：
③平行線垂直平面的傳遞性推論:
④面面平行的性質結論：
面面垂直的性質定理：
[, , ]
判定定理：如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。
性質定理：如果兩個平面互相垂直，那麼在乙個平面內垂直於他們的交線的直線垂直於另乙個平面。
面面垂直的判定方法
①面面垂直的定義：兩個平面相交所成的二面角是直二面角
②面面垂直的判定定理：
③面面平行的性質結論：
8、（1）直線與直線所成的角
①兩平行直線所成的角：規定為。
②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大於直角的角，叫這兩條直線所成的角。
③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點o，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大於直角的角叫做兩條異面直線所成的角，的範圍為（0°，90°]。
注意：（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°（銳角或者直角）
（2）計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。
（3）角aob的度數並不等於直線ao與直線bo所成的角。
（2）直線和平面所成的角
①平面的平行線與平面所成的角：規定為。②平面的垂線與平面所成的角：規定為。
③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，取值範圍為（0°，90°）。
由①②③直線與平面所成的角的範圍為[0°，90°]。
求斜線與平面所成角的思路類似於求異面直線所成角：「一作，二證，三計算」。關鍵的步驟是「作角」（斜線和射影所成的角）
（求一條直線與平面所成的角，就是要找這條直線在平面上的射影，射影與它的直線所成的角即為線面角，即作垂線，找射影）
①定義：斜線和它在平面內的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）
②方法：作直線上任意一點到面的垂線，與線面交點相連，利用直角三角形有關知識求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。
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