高中數學必修3知識點
第一章：演算法初步
1.1.1 演算法的概念
演算法的特點:
(1)有限性：乙個演算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之後停止，不能是無限的.
(2)確定性：演算法中的每一步應該是確定的並且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當是模稜兩可.
(3)順序性與正確性：演算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每乙個步驟只能有乙個確定的後繼步驟，前一步是後一步的前提，只有執行完前一步才能進行下一步，並且每一步都準確無誤，才能完成問題.
(4)不唯一性：求解某乙個問題的解法不一定是唯一的，對於乙個問題可以有不同的演算法.
(5)普遍性：很多具體問題，都可以設計合理的演算法去解決，如心算、計算器計算都要經過有限、事先設計好的步驟加以解決.
1.1.2 程式框圖
（一）程式構圖概念：程式框圖又稱流程圖，是一種用規定圖形、流程線及文字說明來準確、直觀地表示演算法的圖形。
（二）構成程式框的圖形符號及其作用
學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規則，畫程式框圖的規則如下：
1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數流程圖符號只有乙個進入點和乙個退出點。
判斷框具有超過乙個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框「是」與「否」兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。
（三）、演算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、迴圈結構。
1、順序結構：順序結構是最簡單的演算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何乙個演算法都離不開的一種基本演算法結構。
順序結構在程式框圖中的體現就是用流程線將程式框自上而
下地連線起來，按順序執行演算法步驟。如在示意圖中，a框和b
框是依次執行的，只有在執行完a框指定的操作後，才能接著執
行b框所指定的操作。
2、條件結構：
條件結構是指在演算法中通過對條件的判斷
根據條件是否成立而選擇不同流向的演算法結構。
條件p是否成立而選擇執行a框或b框。無論p條件是否成立，只能執行a框或b框之一，不可能同時執行a框和b框，也不可能a框、b框都不執行。乙個判斷結構可以有多個判斷框。
3、迴圈結構：在一些演算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反覆執行某一處理步驟的情況，這就是迴圈結構，反覆執行的處理步驟為迴圈體，顯然，迴圈結構中一定包含條件結構。迴圈結構可細分為兩類：
（1）、一類是當型迴圈結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件p成立時，執行a框，a框執行完畢後，再判斷條件p是否成立，如果仍然成立，再執行a框，如此反覆執行a框，直到某一次條件p不成立為止，此時不再執行a框，離開迴圈結構。
（2）、另一類是直到型迴圈結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然後判斷給定的條件p是否成立，如果p仍然不成立，則繼續執行a框，直到某一次給定的條件p成立為止，此時不再執行a框，離開迴圈結構。
當型迴圈結構直到型迴圈結構
注意：1迴圈結構要在某個條件下終止迴圈，這就需要條件結構來判斷。因此，迴圈結構中一定包含條件結構，但不允許「死迴圈」。
2在迴圈結構中都有乙個計數變數和累加變數。計數變數用於記錄迴圈次數，累加變數用於輸出結果。計數變數和累加變數一般是同步執行的，累加一次，計數一次。
1.2.1 輸入、輸出語句和賦值語句
3、賦值語句
（1）賦值語句的一般格式
（2）賦值語句的作用是將表示式所代表的值賦給變數；（3）賦值語句中的「＝」稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表示式的值賦給賦值號左邊的變數；（4）賦值語句左邊只能是變數名字，而不是表示式，右邊表示式可以是乙個資料、常量或算式；（5）對於乙個變數可以多次賦值。
注意：①賦值號左邊只能是變數名字，而不能是表示式。如：
2=x是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如「a=b」「b=a」的含義執行結果是不同的。
③不能利用賦值語句進行代數式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號「=」與數學中的等號意義不同。
分析：在if—then—else語句中，「條件」表示判斷的條件，「語句1」表示滿足條件時執行的操作內容；「語句2」表示不滿足條件時執行的操作內容；end if表示條件語句的結束。計算機在執行時，首先對if後的條件進行判斷，如果條件符合，則執行then後面的語句1；若條件不符合，則執行else後面的語句2
1.3.1輾轉相除法與更相減損術
1、輾轉相除法。也叫歐幾里德演算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：
（1）：用較大的數m除以較小的數n得到乙個商和乙個餘數；（2）：若＝0，則n為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數n除以餘數得到乙個商和乙個餘數；（3）：
若＝0，則為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數除以餘數得到乙個商和乙個餘數依次計算直至＝0，此時所得到的即為所求的最大公約數。
2、更相減損術
我國早期也有求最大公約數問題的演算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。
翻譯為：（1）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。
若是，用2約簡；若不是，執行第二步。（2）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，並以大數減小數。
繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。
例2 用更相減損術求98與63的最大公約數.
分析：（略）
3、輾轉相除法與更相減損術的區別：
（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。
（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除餘數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到
1.3.2秦九韶演算法與排序
1、秦九韶演算法概念：
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….
+a2)x+a1)x+a0
anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1
然後由內向外逐層計算一次多項式的值，即
v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3vn=vn-1x+a0
這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。
第二章統計
2.1.1簡單隨機抽樣
1．總體和樣本
在統計學中 , 把研究物件的全體叫做總體．把每個研究物件叫做個體．把總體中個體的總數叫做總體容量．
為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：， ， ，
研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數稱為樣本容量．
2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨
機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性。
簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才採用這種方法。
3．簡單隨機抽樣常用的方法：
（1）抽籤法；⑵隨機數表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統計軟體直接抽取。
在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差範圍；③概率保證程度。
4．抽籤法:
（1）給調查物件群體中的每乙個物件編號；
（2）準備抽籤的工具，實施抽籤
（3）對樣本中的每乙個個體進行測量或調查
例：請調查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。
5．隨機數表法：例：利用隨機數表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。
2.1.2系統抽樣
1．系統抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：
把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然後按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第乙個樣本採用簡單隨機抽樣的辦法抽取。
k（抽樣距離）=n（總體規模）/n（樣本規模）
前提條件：總體中個體的排列對於研究的變數來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變數相關的規則分布。可以在調查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。
如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種迴圈性規律，且這種迴圈和抽樣距離重合。
2．系統抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變數可供使用，總體單元按輔助變數的大小順序排隊的話，使用系統抽樣可以大大提高估計精度。
2.1.3分層抽樣
1．分層抽樣（型別抽樣）：
先將總體中的所有單位按照某種特徵或標誌（性別、年齡等）劃分成若干型別或層次，然後再在各個型別或層次中採用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取乙個子樣本，最後，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。
兩種方法：
（1）．先以分層變數將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。
（2）．先以分層變數將總體劃分為若干層，再將各層的元素按分層的順序整齊排列，最後用系統抽樣的方法抽取樣本。
2．分層抽樣是把異質性較強的總體分成乙個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。分層標準：
（1）以調查所要分析和研究的主要變數或相關的變數作為分層的標準。
（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變數作為分層變數。
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