1.1基本計數原理
問題1 春天來了，要從濟南到北京旅遊，有三種交通工具供選擇：長途汽車、旅客列車和客機。已知當天長途車有2班，列車有3班。問共有多少種走法？
設問1： 從濟南到北京按交通工具可分____類方法?
第一類方法, 乘火車，有___ 種方法;
第二類方法, 乘汽車，有___ 種方法;
∴ 從甲地到乙地共有種方法
問題2：春天來了，要從濟南到北京旅遊，若想中途參觀南開大學，已知從濟南到天津有3種走法，從天津到北京有兩種走法；問要從濟南到北京共有多少種不同的方法？
從濟南到北京須經 ____ 再由_____到北京有____個步驟
第一步, 由濟南去天津有___種方法
第二步, 由天津去北京有____種方法,
1分類計數原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k種途徑，由第1種途徑有n1種方法可以完成，由第2種途徑有n2種方法可以完成，……由第k種途徑有nk種方法可以完成。
那麼，完成這件工作共有n1+n2+……+nk種不同的方法。
注意：1.標準必須一致,而且全面、不重不漏！
2「類」與「類」之間是並列的、互斥的、獨立的即：它們兩兩的交集為空集！
3每一類方法中的任何一種方法均能將這件事情從頭至尾完成
2，乘法原理：如果完成一件工作可分為k個步驟，完成第1步有n1種不同的方法，完成第2步有n2種不同的方法，……，完成第k步有nk種不同的方法。那麼，完成這件工作共有n1×n2×……×nk種不同方法
注意：1標準必須一致、正確。
2「步」與「步」之間是連續的,不間斷的,缺一不可;但也不能重複、交叉。
3若完成某件事情需n步,每一步的任何一種方法只能完成這件事的一部分且必須依次完成這n個步驟後,這件事情才算完成。
例1．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，
（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？
（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？
解：（1）從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類辦法是從第3層取1本體育書，有2種方法根據分類計數原理，不同取法的種數是4+3+2=9種
所以，從書架上任取1本書，有9種不同的取法；
（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步從第2層取1本藝術書，有3種方法；第3步從第3層取1本體育書，有2種方法根據分步計數原理，從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數是種
所以，從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法
例2．一種號碼撥號鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數號碼？
解：每個撥號盤上的數字有10種取法，根據分步計數原理，4個撥號盤上各取1個數字組成的四位數字號碼的個數是，
所以，可以組成10000個四位數號碼
例3．要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？
解：從3名工人中選1名上日班和1名上晚班，可以看成是經過先選1名上日班，再選1名上晚班兩個步驟完成，先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定後，上晚班的工人有2種選法根據分步技數原理，不同的選法數是種，6種選法可以表示如下：
日班晚班
甲乙甲丙
乙甲乙丙
丙甲丙乙
所以，從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，6種不同的選法
例1 書架上放有3本不同的數學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．
（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？
（2）若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？
（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？
例2在1～20共20個整數中取兩個數相加,使其和為偶數的不同取法共有多少種?
解:取與取是同一種取法.分類標準為兩加數的奇偶性,第一類,偶偶相加,由分步計數原理得(10×9)/2=45種取法,第二類,奇奇相加,也有(10×9)/2=45種取法.
根據分類計數原理共有45+45=90種不同取法.
例3 如圖一,要給①,②,③,④四塊區域分別塗上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區域必須塗不同顏色,則不同塗色方法種數為()
a. 180 b. 160 c. 96 d. 60
若變為圖二,圖三呢?(240種,5×4×4×4=320種)
1.2.1排列
二、講解新課：
1．排列的概念：
從個不同元素中，任取（）個元素（這裡的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的乙個排列
說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；
（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同
2．排列數的定義：
從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數叫做從個元素中取出元素的排列數，用符號表示
注意區別排列和排列數的不同：「乙個排列」是指：從個不同元素中，任取個元素按照一定的順序排成一列，不是數；「排列數」是指從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數，是乙個數所以符號只表示排列數，而不表示具體的排列
3．排列數公式及其推導：
求以按依次填個空位來考慮，
排列數公式：
=（）說明：（1）公式特徵：第乙個因數是，後面每乙個因數比它前面乙個
少1，最後乙個因數是，共有個因數；
（2）全排列：當時即個不同元素全部取出的乙個排列
全排列數：（叫做n的階乘）
例1．計算：（1）； （2）； （3）．
解：（1） ＝＝3360 ；
（2） ＝＝720 ；
（3）＝＝360
例2．（1）若，則
（2）若則用排列數符號表示 ．
解：（1） 17 ， 14 ．
（2）若則＝ ．
例3．（1）從這五個數字中，任取2個數字組成分數，不同值的分數共有多少個？
（2）5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？
（3）某年全國足球甲級（a組）聯賽共有14隊參加，每隊都要與其餘各隊在主客場分別比賽1次，共進行多少場比賽？
解：（1）；
（2）；
解排列問題問題時，當問題分成互斥各類時，根據加法原理，可用分類法；當問題考慮先後次序時，根據乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱作直接法．當問題的反面簡單明瞭時，可通過求差排除採用間接法求解；另外，排列中「相鄰」問題可以用「**法」；「分離」問題可能用「插空法」等．
解排列問題和組合問題，一定要防止「重複」與「遺漏」．
互斥分類——分類法
先後有序——位置法
反面明了——排除法
相鄰排列——**法
分離排列——插空法
例1求不同的排法種數：
（1）6男2女排成一排，2女相鄰；
（2）6男2女排成一排，2女不能相鄰；
（3）4男4女排成一排，同性者相鄰；
（4）4男4女排成一排，同性者不能相鄰．
例2 某小組6個人排隊照相留念．
(1)若分成兩排照相，前排2人，後排4人，有多少種不同的排法？
(2)若分成兩排照相，前排2人，後排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在後排，有多少種排法？
(3)若排成一排照相，甲、乙兩人必須在一起，有多少種不同的排法？
(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右邊，有多少種不同的排法？
(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相鄰有多少種排法？
(6)若排成一排照相，且甲不站排頭乙不站排尾，有多少種不同的排法？
分析 (1)分兩排照相實際上與排成一排照相一樣，只不過把第3～6個位子看成是第二排而已，所以實際上是6個元素的全排列問題．
(2)先確定甲的排法，有p21種；再確定乙的排法，有p41種；最後確定其他人的排法，有p44種．因為這是分步問題，所以用乘法原理，有p21·p41·p44種不同排法．
(3)採用「**法」，即先把甲、乙兩人看成乙個人，這樣有p55種不同排法．然後甲、乙兩人之間再排隊，有p22種排法．因為是分步問題，應當用乘法原理，所以有p55·p22種排法．
(4)甲在乙的右邊與甲在乙的左邊的排法各佔一半，有p66種排法．
(5)採用「插入法」，把3個女生的位子拉開，在兩端和她們之間放進4張椅子，如____女____女____女____，再把3個男生放到這4個位子上，就保證任何兩個男生都不會相鄰了．這樣男生有p43種排法，女生有p33種排法．因為是分步問題，應當用乘法原理，所以共有p43·p33種排法．
(6)符合條件的排法可分兩類：一類是乙站排頭，其餘5人任意排有p55種排法；一類是乙不站排頭；由於甲不能站排頭，所以排頭只有從除甲、乙以外的4人中任選1人有p41種排法，排尾從除乙以外的4人中選一人有p41種排法，中間4個位置無限制有p44種排法，因為是分步問題，應用乘法原理，所以共有p41p41p44種排法．
解 (1)p66=720(種)
(2)p21·p41·p44=2×4×24=192(種)
(3)p55·p22=120×2=240(種)
(4)p66=360(種)
(5)p43·p33=24×6=144(種)
(6)p55+p41p41p44=120+4×4×24=504(種)
或法二：(淘汰法)p66-2p55+p44=720-240+24=504(種)
1.2.2組合
1_組合的概念：一般地，從個不同元素中取出個元素並成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的乙個組合
注意：⑴不同元素；⑵「只取不排」——無序性；⑶相同組合：元素相同
2．組合數的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數．用符號表示．
高中數學 選修2 3目錄
選修2 3 第一章技術原理 1.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理 1.2排列與組合 1.3二項式定理 第二章隨機變數及其分布 2.1離散型隨機變數及其分布列 2.2二項分布及其應用 2.3離散型隨機變數的均值與方差 2.4正態分佈 第三章統計案例 3.1回歸分析的基本思想及其初步應用 3.2獨立...
高中數學選修2 3知識點
數學選修2 3第一章計數原理知識點必記 1.什麼是分類加法計數原理？答 做一件事情，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法 在第類辦法中有種不同的方法。那麼完成這件事情共有種不同的方法。2.什麼是分步乘法計數原理？答 做一件事情，完成它需要個步驟，做第乙個步驟有種...
高中數學選修
高中數學選修4 5知識點 1 不等式的基本性質 對稱性 傳遞性 可加性 同向可加性 異向可減性 可積性 同向正數可乘性 異向正數可除性 平方法則 開方法則 倒數法則 2 幾個重要不等式 當且僅當時取號 變形公式 基本不等式 當且僅當時取到等號 變形公式 用基本不等式求最值時 積定和最小，和定積最大 ...