高中數學複習系列---數列綜合訓練一（數列與向量、函式的綜合題）
【數列與向量綜合題】
1.=, =,
（1）求證：為等差數列；
(2) 若,問是否存在, 對於任意（），不等式成立.
解（1）
為等差數列
（2）2. 已知數列的首項，前項和為，且、、（n ≥2）分別是直線上的點a、b、c的橫座標，，設，．
⑴ 判斷數列是否為等比數列，並證明你的結論；
⑵ 設，證明：．
解：⑴由題意得
（n≥2），又∵，
數列是以為首項，以2為公比的等比數列。
[則（）]
⑵由及得
， 則
【數列與函式的綜合題】
3.二次函式
（1）求並求的解析式；
（2）若求數列
（3）若求符合最小自然數n．
.解：（1）
又（2）（3）4. 已知函式，點，是函式影象上的兩個點，且線段的中點的橫座標為．
⑴求證：點的縱座標是定值；
⑵若數列的通項公式為，求數列的前m項的和；
解：⑴由題可知：，所以，
點的縱座標是定值，問題得證．
⑵由⑴可知：對任意自然數，恆成立．
由於，故可考慮利用倒寫求和的方法．即由於：
所以，所以，5. 設f1(x)=，定義fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =（n∈n*）.
(1) 求數列｛an｝的通項公式；
(2) 若，qn=（n∈n*），試比較9t2n與qn的大小，並說明理由.
解：（1）∵f1(0)=2，a1==，fn+1(0)= f1［fn(0)］=,
∴an+1==== -= -an.
∴數列｛an｝是首項為,公比為-的等比數列，∴an= ()n1.
（2）∵t2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n1+2na 2 n，
∴t2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n－1+2na2 n
= a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n.
兩式相減，得t2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n.
∴t2n =+n×(-)2n1=- (-)2n+ (-)2n1.
t2n =- (-)2n+ (-)2n1= (1-).
∴9t2n=1-.
又qn=1-，
當n=1時，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9t2 n＜q n；
當n=2時，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9t2 n＜qn；
當n≥3時，，
∴9t2 n＞q n.
6.已知：函式，數列對總有；
（1）求{}的通項公式。
(2) 求和：
（3）若數列滿足： 為的子數列（即中的每一項都是的項，且按在中的順序排列）為無窮等比數列，它的各項和為。這樣的數列是否存在？
若存在，求出所有符合條件的數列，寫出它的通項公式，並證明你的結論；若不存在，說明理由。
解（1）由，又分
所以，是以為首項，為公差的等差數列，即分
（2）當為偶數，
所以分當為奇數，則為偶數，
分綜上分（3）設，公比，則（）對任意的均成立，故是正奇數，又存在，所以分
當時，，此時，，成立分
當時，，此時故不成立分
時，，此時，，成立分
當時，，由，得，設，則，又因為，所以，此時或分別代入，得到不合題意分
由此，滿足條件（3）的只有兩個，即或 0分
7.已知函式且任意的、都有
（1）若數列
（2）求的值.
解：（1）
而（2）由題設，有
又得上為奇函式.
由得 於是故
〖例〗已知點（1，）是函式且）的圖象上一點，等比數列的前項和為,數列的首項為，且前項和滿足－=+（）.
（1）求數列和的通項公式；
（2）若數列的通項公式；
（ii）證明：對於一切正整數n，不等式恆成立。
解：（i）顯然，由可得，即，
也即，所以是首項為，公比為的等比數列，
從而有，即。 ①
證明：（ii）由①得，所以有，
為證，只需證。 ②
高中數學複習
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題型一 求值類的計算題 多關於等差等比數列 a 根據基本量求解 方程的思想 1 已知為等差數列的前項和，求 2 等差數列中，且成等比數列，求數列前20項的和 3 設是公比為正數的等比數列，若，求數列前7項的和.4 已知四個實數，前三個數成等差數列，後三個數成等比數列，首末兩數之和為，中間兩數之和為，...
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