題型一：求值類的計算題（多關於等差等比數列）
a）根據基本量求解（方程的思想）
1、已知為等差數列的前項和，，求；
2、等差數列中，且成等比數列，求數列前20項的和．
3、設是公比為正數的等比數列，若，求數列前7項的和.
4、已知四個實數，前三個數成等差數列，後三個數成等比數列，首末兩數之和為，中間兩數之和為，求這四個數.
b）根據數列的性質求解（整體思想）
1、已知為等差數列的前項和，，則
2、設、分別是等差數列、的前項和，，則 .
3、設是等差數列的前n項和，若（ ）
4、等差數列,的前項和分別為,,若,則=（ ）
5、已知為等差數列的前項和，，則
題型二：求數列通項公式：
a） 給出前幾項，求通項公式
3，-33,333，-3333,33333……
b）給出前n項和求通項公式
1、⑴； ⑵.
2、設數列滿足，求數列的通項公式
c）給出遞推公式求通項公式
a、⑴已知關係式，可利用迭加法或迭代法；
例：1.已知數列滿足，求數列的通項公式。
2. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
3.已知數列滿足，求數列的通項公式。
4.設數列滿足，，求數列的通項公式
b、已知關係式，可利用迭乘法.
若，則兩邊分別相乘得，
例：1. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
2.已知數列滿足，，求。
3.已知， ，求。
c、構造新數列待定係數法
適用於解題基本步驟：1、確定2、設等比數列，公比為3、列出關係式
4、比較係數求， 5、解得數列的通項公式6、解得數列的通項公式
例：1. 已知數列中，，求數列的通項公式。
2.（2006，重慶,文,14）在數列中，若，則該數列的通項
3.（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數列滿足求數列的通項公式；
4.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設5. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設6.已知數列中，,，求
7. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設8. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
d、給出關於和的關係
例1、設數列的前項和為，已知，設，
求數列的通項公式．
例2、設是數列的前項和，，.
⑴求的通項；
⑵設，求數列的前項和.
（6）根據條件找與項關係
例1.已知數列中，，若，求數列的通項公式
2.（2009全國卷ⅰ理）在數列中，
（i）設，求數列的通項公式
（7）倒數變換法適用於分式關係的遞推公式，分子只有一項
例：1. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
（8）對無窮遞推數列
消項得到第與項的關係
例：1. （2023年全國i第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。
2.設數列滿足，．求數列的通項；
（8）、迭代法
例：1.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以
又，所以數列的通項公式為。
（9）、變性轉化法
1、對數變換法適用於指數關係的遞推公式
例： 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
2、換元法適用於含根式的遞推關係
例： 已知數列滿足，求數列的通項公式。
題型三：證明數列是等差或等比數列
a)證明數列等差
例1、已知為等差數列的前項和，.求證：數列是等差數列.
例2、已知數列的前n項和為sn，且滿足an+2sn·sn－1=0（n≥2），a1=.求證：{}是等差數列；
b）證明數列等比
例1、設是等差數列，bn＝，求證：數列是等比數列；
例2、設為數列的前項和，已知
⑴證明：當時，是等比數列；⑵求的通項公式
例3、已知數列滿足
⑴證明：數列是等比數列；⑵求數列的通項公式；
⑶若數列滿足證明是等差數列.
題型四：求數列的前n項和
基本方法：
a）公式法，
公比含字母時一定要討論
(理)無窮遞縮等比數列時，
例：1.已知等差數列滿足，求前項和
2. 等差數列中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和sn=100,則n=（ ）
a．9 b．10 c．11 d．12
3.已知等比數列滿足，求前項和
b）拆解求和法.
例1、求數列的前項和.
例2、求數列的前項和.
例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）
c）裂項相消法，數列的常見拆項有：；；
例1、求和：s=1+
例2、求和：.
d）倒序相加法，
例、設，求：⑴；⑵
例：1. 求
2.求證：
3．設數列是公差為，且首項為的等差數列，
求和：e）錯位相減法，
例、若數列的通項，求此數列的前項和
例：1．求和
2.求和：
3.設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，， （ⅰ）求，的通項公式；（ⅱ）求數列的前n項和．
f）對於數列等差和等比混合數列分組求和
例、已知數列的前n項和sn=12n－n2，求數列的前n項和tn.
題型五：數列單調性最值問題
例1、數列中，，當數列的前項和取得最小值時， .
例2、已知為等差數列的前項和，當為何值時，取得最大值；
例3、數列中，，求取最小值時的值.
例4、數列中，，求數列的最大項和最小項.
例5、設數列的前項和為．已知，，．
（ⅰ）設，求數列的通項公式；（ⅱ）若，，求的取值範圍．
例6、已知為數列的前項和，，.
⑴求數列的通項公式；
⑵數列中是否存在正整數，使得不等式對任意不小於的正整數都成立？若存在，求最小的正整數，若不存在，說明理由.
例7、非等比數列中，前n項和，
（1）求數列的通項公式；
（2）設，，是否存在最大的整數m，使得對任意的n均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由。
綜合練習：
1.設數列滿足且
（1）求的通項公式
（2）設記，證明：
2.等比數列的各項均為正數，且，
（1）求數列的通項公式
（2）設，求數列的前n項和
3.已知等差數列滿足,.
(1)求數列的通項公式及
（2）求數列的前n項和
4.已知兩個等比數列，，滿足，，，
（1）若求數列的通項公式
（2）若數列唯一，求的值
5.設數列滿足，
（1）求數列的通項公式
（2）令，求數列的前n項和
6.已知a1=2，點(an,an+1)在函式f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…
（1） 證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；
（2） 設tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求tn及數列｛an｝的通項；
（3） 記bn=，求｛bn｝數列的前項和sn，並證明sn+=1.
7.已知等差數列滿足：，的前n項和
（1）求及
（2）令（），求數列前n項和
8．已知數列中，前和
求證：數列是等差數列求數列的通項公式
設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都成立？若存在，求的最小值，若不存在，試說明理由。
9.數列滿足=8， （），
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，是否存在最大的整數m，使得任意的n均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．
高中數學複習系列數列常見題型總結
數列題型一 求值類的計算題 多關於等差等比數列 a 根據基本量求解 方程的思想 1 已知為等差數列的前項和，求 2 等差數列中，且成等比數列，求數列前20項的和 3 設是公比為正數的等比數列，若，求數列前7項的和.4 已知四個實數，前三個數成等差數列，後三個數成等比數列，首末兩數之和為，中間兩數之和...
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