導數經典例題剖析
考點一：求導公式。
例1.是的導函式，則的值是
考點二：導數的幾何意義。
例2. 已知函式的圖象在點處的切線方程是，則
例3.曲線在點處的切線方程是
考點三：導數的幾何意義的應用。
例4.已知曲線c：，直線，且直線與曲線c相切於點，求直線的方程及切點座標。
考點四：函式的單調性。
例5.已知在r上是減函式，求的取值範圍。
例6. 設函式在及時取得極值。
（1）求a、b的值；
（2）若對於任意的，都有成立，求c的取值範圍。
點評：本題考查利用導數求函式的極值。求可導函式的極值步驟：①求導數；
②求的根；③將的根在數軸上標出，得出單調區間，由在各區間上取值的正負可確定並求出函式的極值。
例7. 已知為實數，。求導數；（2）若，求在區間上的最大值和最小值。
解析：（1）， 。
（2），。
令，即，解得或， 則和在區間上隨的變化情況如下表：
，。所以，在區間上的最大值為，最小值為。
答案：（1）；（2）最大值為，最小值為。
點評：本題考查可導函式最值的求法。求可導函式在區間上的最值，要先求出函式在區間上的極值，然後與和進行比較，從而得出函式的最大最小值。
考點七：導數的綜合性問題。
例8. 設函式為奇函式，其圖象在點處的切線與直線垂直，導函式的最小值為。（1）求，，的值；
（2）求函式的單調遞增區間，並求函式在上的最大值和最小值。
解析： （1）∵為奇函式，∴，即
∴，∵的最小值為，∴，又直線的斜率為，因此，，∴，，．
（2）。 ，列表如下：
所以函式的單調增區間是和，∵，，，∴在上的最大值是，最小值是。
答案：（1），，；（2）最大值是，最小值是。
點評：本題考查函式的奇偶性、單調性、二次函式的最值、導數的應用等基礎知識，以及推理能力和運算能力。
導數強化訓練
（一） 選擇題
1. 已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫座標為（ a ）
a．1b．2c．3d．4
2. 曲線在點（1，－1）處的切線方程為 （ b ）
a． b． c． d．
3. 函式在處的導數等於 （ d ）
a．1 b．2 c．3 d．4
4. 已知函式的解析式可能為 （ a ）
a． b．
c． d．
5. 函式，已知在時取得極值，則=（ d ）
（a）2b）3c）4d）5
6. 函式是減函式的區間為( d )
7. 若函式的圖象的頂點在第四象限，則函式的圖象是（ a ）
8. 函式在區間上的最大值是（ a ）
abcd．
9. 函式的極大值為，極小值為，則為 （ a ）
a．0b．1c．2d．4
10. 三次函式在內是增函式，則 （ a ）
abcd．
11. 在函式的圖象上，其切線的傾斜角小於的點中，座標為整數的點的個數是d ）
a．3 b．2 c．1 d．0
12. 函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象如圖所示，則函式在開區間內有極小值點（ a ）
a．1個b．2個
c．3個d． 4個
（二） 填空題
13. 曲線在點處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為
14. 已知曲線，則過點「改為在點」的切線方程是
15. 已知是對函式連續進行n次求導，若，對於任意，都有=0，則n的最少值為
16. 某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運費為4萬元／次，一年的總儲存費用為萬元，要使一年的總運費與總儲存費用之和最小，則噸．
（三） 解答題
17. 已知函式，當時，取得極大值7；當時，取得極小值．求這個極小值及的值．
18. 已知函式
（1）求的單調減區間；
（2）若在區間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區間上的最小值.
19. 設，點p（，0）是函式的圖象的乙個公共點，兩函式的圖象在點p處有相同的切線。
（1）用表示；
（2）若函式在（－1，3）上單調遞減，求的取值範圍。
20. 設函式，已知是奇函式。
（1）求、的值。
（2）求的單調區間與極值。
21. 用長為18 cm的鋼條圍成乙個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
22. 已知函式在區間，內各有乙個極值點．
（1）求的最大值；
（1） 當時，設函式在點處的切線為，若在點處穿過函式的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函式的表示式．
強化訓練答案：
1.a 2.b 3.d 4.a 5.d 6.d 7.a 8.a 9.a 10.a 11.d 12.a
（四） 填空題
13. 14. 15. 7 16. 20
（五） 解答題
17. 解：。
據題意，－1，3是方程的兩個根，由韋達定理得∴∴
∵，∴極小值
∴極小值為－25，，。
18. 解：（1）令，解得
所以函式的單調遞減區間為
（2）因為
所以因為在（－1，3）上，所以在[－1，2]上單調遞增，又由於在[－2，－1]上單調遞減，因此和分別是在區間上的最大值和最小值.於是有，解得
故因此即函式在區間上的最小值為－7.
19. 解：（1）因為函式，的圖象都過點（，0），所以，
即.因為所以.
又因為，在點（，0）處有相同的切線，所以
而將代入上式得因此故，，
（2）.
當時，函式單調遞減.
由，若；若
由題意，函式在（－1，3）上單調遞減，則
所以又當時，函式在（－1，3）上單調遞減.
所以的取值範圍為
20. 解：（1）∵，∴。從而＝是乙個奇函式，所以得，由奇函式定義得；
（2）由（ⅰ）知，從而，由此可知，
和是函式是單調遞增區間；
是函式是單調遞減區間；
在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。
21. 解：設長方體的寬為（m），則長為(m)，高為
.故長方體的體積為
從而令，解得（捨去）或，因此.
當時，；當時，，
故在處取得極大值，並且這個極大值就是的最大值。
從而最大體積，此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.
答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為。
22. 解：（1）因為函式在區間，內分別有乙個極值點，所以在，內分別有乙個實根，
設兩實根為（），則，且．於是
，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．
（2）解法一：由知在點處的切線的方程是
，即，因為切線在點處空過的圖象，
所以在兩邊附近的函式值異號，則
不是的極值點．
而，且．
若，則和都是的極值點．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函式值異號，於是存在（）．
當時，，當時，；
或當時，，當時，．
設，則當時，，當時，；
或當時，，當時，．
由知是的乙個極值點，則，
所以，又由，得，故．
高中數學導數總結
專題 導數 文 經典例題剖析 考點一 求導公式。例1.是的導函式，則的值是 考點二 導數的幾何意義。例2.已知函式的圖象在點處的切線方程是，則 例3.曲線在點處的切線方程是 考點三 導數的幾何意義的應用。例4.已知曲線c 直線，且直線與曲線c相切於點，求直線的方程及切點座標。考點四 函式的單調性。例...
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高中數學關於導數知識的題型與方法
提要 導數 是新課標高中數學新增內容，它不僅是研究函式單調性 極值 最值 討論函式圖象變化趨勢的重要工具，而且是學習高等數學的基礎。因此，近幾年高考中都把它作為重點內容進行考查。本文通過例題說明導數的一些應用。關鍵詞 導數的基本知識導數的幾何意義導數的應用 一 考試內容 導數的概念，導數的幾何意義，...