導數第01講：導數的概念、幾何意義及其運算
高考《考試大綱》的要求：
① 了解導數概念的實際背景； ② 理解導數的幾何意義；
③能根據導數定義，求函式的導數
④ 能利用下面給出的基本初等函式的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函式的導數，
常見基本初等函式的導數公式和常用導數運算公式 ：
法則1： 法則2：
法則3：
（一）基礎知識回顧：
1.導數的定義：函式在處的瞬時變化率稱為函式在處的導數，記作或，即
如果函式在開區間內的每點處都有導數，此時對於每乙個，都對應著乙個確定的導數，從而構成了乙個新的函式。稱這個函式為函式在開區間內的導函式，簡稱導數，也可記作，即＝＝
導數與導函式都稱為導數，這要加以區分：求乙個函式的導數，就是求導函式；求函式在處的導數，就是導函式在處的函式值，即＝。
2. 由導數的定義求函式的導數的一般方法是: (1).求函式的改變量;
（2）.求平均變化率; （3）.取極限，得導數＝。
3.導數的幾何意義：函式在處的導數是曲線上點()處的切線的斜率。 因此，如果存在，則曲線在點（）處的切線方程為
4.常用的求導公式、法則（除上面大綱所列出的以外，還有）：
（1）公式的特例
（2）法則若，則
（二）例題分析：
例1. 已知y=，用導數的定義求y′.
例2.設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）
a．2 b． c． d．
例3.曲線y=在點（1，）處的切線與座標軸圍成的三角形面積為（ ）
（a） （b） （c） （d）
例4.已知直線為曲線在點（1，0）處的切線，為該曲線的另一條切線，且
（ⅰ）求直線的方程；
（ⅱ）求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.
第02講： 導數在研究函式中的應用
高考《考試大綱》的要求：
① 了解函式單調性和導數的關係:能利用導數研究函式的單調性，會求函式的單調性區間（其中多項式函式一般不超過三次）
② 了解函式在某點取得極值的必要條件和充分條件：會用導數求函式的極大值、極小值（其中多項式函式一般不超過三次）；會求閉期間上函式的最大值、最小值（其中多項式函式一般不超過三次）
（一）基礎知識回顧：
1. 設函式在某個區間（a,b）內有導數，如果在這個區間內＿＿＿＿，則在這個區間內單調遞增；如果在這個區間內＿＿＿＿，則是這個區間內單調遞減.
2. 求函式的單調區間的方法： （1）求導數； （2）解方程；
（3）使不等式成立的區間就是遞增區間，使成立的區間就是遞減區間。
3. 求函式的極值的方法：
（1）求導數； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（臨界點）；
（3）如果在根附近的左側____0，右側____0，那麼是的極大值；如果在根附近的左側____0，右側____0，那麼是的極小值
4．在區間上求函式的最大值與最小值的步驟：
（1）求函式在內的導數 ； （2）求函式在內的極值 ；
（3）將函式在內的各極值與端點處的函式值作比較，
其中最大的乙個為最大值 ，最小的乙個為最小值
5．有關最值的幾個結論: (1) 閉區間上的連續函式必定有最大值和最小值;
(2) 若函式()單調遞增,則最小值是________,最大值是_______.
（二）例題分析：
例1．已知函式在點x=1處有極小值-1．
試確定a、b的值．並求出f（x）的單調區間．
例2．設函式f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值.
(ⅰ)求a、b的值; （ⅱ）若對於任意的x都有f (x)＜c2成立，求c的取值範圍.
1.設，若函式，有大於零的極值點，則（ ）
a． b. c. d.
2．如果函式的影象如右圖,那麼導函式的影象可能是（ ）
3．。函式y＝xcosx－sinx在下面哪個區間內是增函式（ ）
（a）(，) （b）(，2) （c）(，) （d）(2，3)
第03講： 導數的實際應用
（一）基礎知識回顧：
1.結論：若函式f(x)在區間a上有唯一乙個極值點，且是這個函式的極大（小）值，那麼這個極值必定就是函式f(x)在區間a上的最大（小）值。
2.定積分的幾何意義：表示由直線和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。
3．微積分基本定理（牛頓---萊布尼茲公式）：如果f(x)是區間[a,b]上的連續函式，並且，那麼。常常把記作。
（二）例題分析：
例1.用長為18 m的鋼條圍成乙個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？
例2.某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低**。
銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低銷x（單位：元，）的平方成正比.已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件.
(ⅰ)將乙個星期的商品銷售利潤表示成x的函式;(ⅱ)如何定價才能使乙個星期的商品銷售利潤最大？
例3．已知直線與曲線相切於一點p，且與軸、軸的正半軸分別交於兩點，為座標原點，則當三角形aob的面積最大時，求切點p的座標和直線的方程，並求出三角形aob面積的最大值
1.某地有三家工廠，分別位於矩形abcd 的頂點a,b 及cd的中點p 處，已知ab=20km,
cb =10km ，為了處理三家工廠的汙水，現要在矩形abcd 的區域上（含邊界），且與a,b等距離的一點o 處建造乙個汙水處理廠，並鋪設排汙管道ao,bo,op ，設排汙管道的總長為km．
（ⅰ）按下列要求寫出函式關係式：
① 設∠bao= (rad)，將表示成的函式關係式；
② 設op (km) ，將表示成x的函式關係式．
（ⅱ）請你選用（ⅰ）中的乙個函式關係式，確定汙水處理廠的位置，使三條排汙管道總長度最短．
。第04講： 導數的綜合應用
1.設函式為實數。
（ⅰ）已知函式在處取得極值，求的值；
（ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數的取值範圍。
2.設函式，曲線在點處的切線方程為
。（1）求的解析式；（2）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，並求此定值。
3.已知函式f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1 在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值，且00; （2）若z=a+2b,求z的取值範圍。
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