導數考試內容：
導數的背影．導數的概念．多項式函式的導數．利用導數研究函式的單調性和極值．函式的最大值和最小值．
考試要求：（1）了解導數概念的某些實際背景．（2）理解導數的幾何意義．（3）掌握函式，y=c(c為常數)、y=xn(n∈n+)的導數公式，會求多項式函式的導數．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，並會用導數求多項式函式的單調區間、極大值、極小值及閉區間上的最大值和最小值．（5）會利用導數求某些簡單實際問題的最大值和最小值．
§14. 導數知識要點
1. 導數（導函式的簡稱）的定義：設是函式定義域的一點，如果自變數在處有增量，則函式值也引起相應的增量；比值稱為函式在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函式在點處可導，並把這個極限叫做在處的導數，記作或，即=.
注：①是增量，我們也稱為「改變量」，因為可正，可負，但不為零.
②以知函式定義域為，的定義域為，則與關係為.
2. 函式在點處連續與點處可導的關係：
⑴函式在點處連續是在點處可導的必要不充分條件.
可以證明，如果在點處可導，那麼點處連續.
事實上，令，則相當於.
於是⑵如果點處連續，那麼在點處可導，是不成立的.
例：在點處連續，但在點處不可導，因為，當＞0時，；當＜0時，，故不存在.
注：①可導的奇函式函式其導函式為偶函式.②可導的偶函式函式其導函式為奇函式.
3. 導數的幾何意義：
函式在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點p處的切線的斜率是，切線方程為
4. 求導數的四則運算法則：
（為常數）
注：①必須是可導函式.
②若兩個函式可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函式均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.
例如：設，，則在處均不可導，但它們和在處均可導.
5. 復合函式的求導法則：或
復合函式的求導法則可推廣到多個中間變數的情形.
6. 函式單調性：
⑴函式單調性的判定方法：設函式在某個區間內可導，如果＞0，則為增函式；如果＜0，則為減函式.
⑵常數的判定方法；
如果函式在區間內恒有=0，則為常數.
注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上並不是都有，有乙個點例外即x=0時f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.
②一般地，如果f（x）在某區間內有限個點處為零，在其餘各點均為正（或負），那麼f（x）在該區間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.
7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有＜，則是函式的極大值，極小值同理）
當函式在點處連續時，
①如果在附近的左側＞0，右側＜0，那麼是極大值；
②如果在附近的左側＜0，右側＞0，那麼是極小值.
也就是說是極值點的充分條件是點兩側導數異號，而不是=0①. 此外，函式不可導的點也可能是函式的極值點②. 當然，極值是乙個區域性概念，極值點的大小關係是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函式在某一點附近的點不同）.
注①： 若點是可導函式的極值點，則=0. 但反過來不一定成立. 對於可導函式，其一點是極值點的必要條件是若函式在該點可導，則導數值為零.
例如：函式，使=0，但不是極值點.
②例如：函式，在點處不可導，但點是函式的極小值點.
8. 極值與最值的區別：極值是在區域性對函式值進行比較，最值是在整體區間上對函式值進行比較.注：函式的極值點一定有意義.
9. 幾種常見的函式導數：
i.（為常數
iiiii. 求導的常見方法：
①常用結論：.②形如或兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.
③無理函式或形如這類函式，如取自然對數之後可變形為，對兩邊求導可得.
導數中的切線問題
例題1：已知切點，求曲線的切線方程
曲線在點處的切線方程為（ ）
例題2：已知斜率，求曲線的切線方程
與直線的平行的拋物線的切線方程是（ ）
例題3：已知過曲線上一點，求切線方程
過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法．
求過曲線上的點的切線方程．
例題4：已知過曲線外一點，求切線方程
求過點且與曲線相切的直線方程．
練習題： 已知函式，過點作曲線的切線，求此切線方程．
看看幾個高考題
1.（2009全國卷ⅱ）曲線在點處的切線方程為
2.（2010江西卷）設函式，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為
3.（2009寧夏海南卷）曲線在點（0,1）處的切線方程為
4.（2009浙江）（本題滿分15分）已知函式 ．
（i）若函式的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值；
5.（2009北京）（本小題共14分）
設函式.
（ⅰ）若曲線在點處與直線相切，求的值；
.1 函式的單調性和導數
1．利用導數的符號來判斷函式單調性:
一般地，設函式在某個區間可導，
如果在這個區間內，則為這個區間內的
如果在這個區間內，則為這個區間內的
2．利用導數確定函式的單調性的步驟：
(1) 確定函式f(x)的定義域；
(2) 求出函式的導數；
(3) 解不等式f (x)＞0，得函式的單調遞增區間；
解不等式f (x)＜0，得函式的單調遞減區間．
【例題講解】
a) 求證：在上是增函式。
b) 確定函式f(x)=2x3－6x2+7在哪個區間內是增函式，哪個區間內是減函式.
【課堂練習】
1．確定下列函式的單調區間
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
２．已知函式，則（ ）
a．在上遞增 b．在上遞減
c．在上遞增 d．在上遞減
３．函式的單調遞增區間是
函式圖象及其導函式圖象
1. 函式在定義域內可導，其圖象如圖，記的導函式為，則不等式的解集為
2. 函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象如圖所示，則函式的單調增區間是
3. 如圖為函式的圖象，為函式的導函式，則不等式的解集為
4. 若函式的圖象的頂點在第四象限，則其導函式的圖象是（ ）
5. 函式的圖象過原點且它的導函式的圖象是如圖所示的一條直線，則圖象的頂點在（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
6. (2023年廣東佛山)設是函式的導函式,的圖象如右圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）
7. 設函式f(x)在定義域內可導，y=f(x)的圖象如下左圖所示，則導函式y=f (x)的圖象可能為( )
8. （安微省合肥市2023年高三第二次教學質量檢測文科）函式的影象如下右圖所示，則的影象可能是
9. (2023年3月廣東省深圳市高三年級第一次調研考試文科)已知函式的導函式的圖象如右圖，則的圖象可能是( )
10. （2023年浙江省寧波市高三「十校」聯考文科）如右圖所示是某一容器的三檢視，現向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時間變化的可能圖象是（ ）
(abcd)
11. (2008廣州二模文、理)已知二次函式的圖象如圖1所示 , 則其導函式的圖象大致形狀是（ ）
12. （2009湖南卷文）若函式的導函式在區間上是增函式，則函式在區間上的圖象可能是
abcd．
13. （福建卷11）如果函式的圖象如右圖，那麼導函式的圖象可能是
14. （2023年福建卷12)已知函式y=f(x),y=g(x)的導函式的圖象如下圖，那麼y=f(x),y=g(x)的圖象可能是
15. (2008珠海一模文、理)設是函式的導函式，將和的影象畫在同乙個直角座標系中，不可能正確的是（ ）
abcd．
16. (湖南省株洲市2008屆高三第二次質檢)已知函式的導函式的影象如下，則（ ）
函式有1個極大值點，1個極小值點
函式有2個極大值點，2個極小值點
函式有3個極大值點，1個極小值點
函式有1個極大值點，3個極小值點
17. (2008珠海質檢理)函式的定義域為，其導函式內的圖象如圖所示，則函式在區間內極小值點的個數是（ ）
(a).1b).2c).3d).4
18. 【湛江市·文】函式的圖象大致是
19. 【珠海·文】如圖是二次函式的部分圖象，則函式的零點所在的區間是 （ ）
ab.cd.
20. 已知函式在點處取得極大值，其導函式的圖象經過點，，如圖所示.求：
（ⅰ）的值；
（ⅱ）的值.
高中數學導數知識點歸納總結
導數主要內容 導數的背影 導數的概念 多項式函式的導數 利用導數研究函式的單調性和極值 函式的最大值和最小值 考試要求 1 了解導數概念的某些實際背景 2 理解導數的幾何意義 3 掌握函式，y c c為常數 y xn n n 的導數公式，會求多項式函式的導數 4 理解極大值 極小值 最大值 最小值的...
高中數學導數知識點歸納總結
一 基本概念 1.導數的定義 設是函式定義域的一點，如果自變數在處有增量，則函式值也引起相應的增量 比值稱為函式在點到之間的平均變化率 如果極限存在，則稱函式在點處可導，並把這個極限叫做在處的導數。在點處的導數記作 2 導數的幾何意義 求函式在某點處的切線方程 函式在點處的導數的幾何意義就是曲線在點...
高中數學導數知識點歸納
導數及其應用 一 導數概念的引入 1.導數的物理意義 瞬時速率。一般的，函式在處的瞬時變化率是，我們稱它為函式在處的導數，記作或，即 2.導數的幾何意義 曲線的切線.通過影象,我們可以看出當點趨近於時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當點趨近於時，函式在處的導數就是切線pt的斜率k，即 3....