導數及其應用
一． 導數概念的引入
1. 導數的物理意義：瞬時速率。一般的，函式在處的瞬時變化率是，
我們稱它為函式在處的導數，記作或，
即=2. 導數的幾何意義：曲線的切線.通過影象,我們可以看出當點趨近於時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當點趨近於時，函式在處的導數就是切線pt的斜率k，即
3. 導函式：當x變化時，便是x的乙個函式，我們稱它為的導函式.的導函式有時也記作,即
例一：若，則
二.導數的計算
1）基本初等函式的導數公式:
2 若,則;
3 若,則
4 若,則;
5 若,則
6 若,則
7 若,則
8 若,則
2）導數的運算法則
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
2. 3.
3）復合函式求導
和,稱則可以表示成為的函式,即為乙個復合函式
一、知識自測：
1、幾個常用函式的導數：
（1）f(x)=c，則f』(x2）f(x)=x，則f』(x3）f(x)=，則f』(x)=_______
（4）f(x)=，則f』(x5）f(x)=，則f』(x)=_______
2、基本初等函式的導數公式：
（1）f(x)=c（c為常數），則f』(x2）f(x)=，則f』(x)=_______
（3）f(x)=sinx，則f』(x4）f(x)=cosx，則f』(x)=_______
（5）f(x)=，則f』(x6）f(x)=，則f』(x
（7）f(x)=，則f』(x8）f(x)=，則f』(x
3、導數的運算法則：
已知的導數存在，則：（1）
（2）（3
二、典型例題
例3、根據基本初等函式的導數公式和導數運算法則，求下列函式的導數．
（1）（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
（6）；
（7）解：（1），
。（2）
（3）（4），
。（5）
（6），
。（7）
1、 2、 3、
(1) （2） （3）
（4） （56）
四．課堂練習
1、根據基本初等函式的導數公式和導數運算法則，求函式f(x)=x3-2x+3的導數。
2、求下列函式的導數：
三.導數在研究函式中的應用
1.函式的單調性與導數:
一般的,函式的單調性與其導數的正負有如下＇關係：
在某個區間內，如果，那麼函式在這個區間單調遞增；
如果，那麼函式在這個區間單調遞減.
ps：二階導數，是原函式導數的導數，將原函式進行二次求導。一般的，函式y=f（x）的導數y＇=f＇（x）仍然是x的函式，則y＇=f＇（x）的導數叫做函式y=f（x）的二階導數。
幾何意義
（1）切線斜率變化的速度
（2）函式的凹凸性（例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側）
2.函式的極值（區域性概念）與導數
極值反映的是函式在某一點附近的大小情況.
求函式的極值的方法是:
(1) 如果在附近的左側,右側,那麼是極大值;
(2) 如果在附近的左側,右側,那麼是極小值;
(3) 若f＇（x）=0，則在該點函式不增不減，可能為極值，也可能就為一過渡點。
4.函式的最大(小)值與導數
函式極大值與最大值之間的關係.
求函式在上的最大值與最小值的步驟
（1） 求函式在內的極值；
（2） 將函式的各極值與端點處的函式值，比較，其中最大的是乙個最大值，最小的是最小值.
可導奇函式的導函式的是偶函式
可導偶函式的導函式的是奇函式
iii. 求導的常見方法：
1 常用結論：.
②形如或兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.
2 無理函式或形如這類函式，如取自然對數之後可變形為，對兩邊求導可得.
利用導數研究函式的圖象
1． f（x）的導函式的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（ d ）
（abcd）
2．函式( a )
3．方程b )
a、0b、1c、2d、3
專題8：導數（文）
經典例題剖析
考點一：求導公式。
例1.是的導函式，則的值是
解析：，所以
答案：3
考點二：導數的幾何意義。
例2. 已知函式的圖象在點處的切線方程是，則
解析：因為，所以，由切線過點，可得點m的縱座標為，所以，所以
答案：3
例3.曲線在點處的切線方程是
解析：，點處切線的斜率為，所以設切線方程為，將點帶入切線方程可得，所以，過曲線上點處的切線方程為：
答案：點評：以上兩小題均是對導數的幾何意義的考查。
考點三：導數的幾何意義的應用。
例4.已知曲線c：，直線，且直線與曲線c相切於點，求直線的方程及切點座標。
解析：直線過原點，則。由點在曲線c上，則， 。
又， 在處曲線c的切線斜率為， ，整理得：，解得：或（舍），此時，，。
所以，直線的方程為，切點座標是。
答案：直線的方程為，切點座標是
點評：本小題考查導數幾何意義的應用。解決此類問題時應注意「切點既在曲線上又在切線上」這個條件的應用。函式在某點可導是相應曲線上過該點存在切線的充分條件，而不是必要條件。
考點四：函式的單調性。
例5.已知在r上是減函式，求的取值範圍。
解析：函式的導數為。對於都有時，為減函式。由可得，解得。所以，當時，函式對為減函式。
（1） 當時，。
由函式在r上的單調性，可知當是，函式對為減函式。
（2） 當時，函式在r上存在增區間。所以，當時，函式在r上不是單調遞減函式。
綜合（1）（2）（3）可知。
答案：點評：本題考查導數在函式單調性中的應用。對於高次函式單調性問題，要有求導意識。
考點五：函式的極值。
例6. 設函式在及時取得極值。
（1）求a、b的值；
（2）若對於任意的，都有成立，求c的取值範圍。
解析：（1），因為函式在及取得極值，則有，．即，解得，。
（2）由（ⅰ）可知，，。
當時，；當時，；當時，。所以，當時，取得極大值，又，。則當時，的最大值為。因為對於任意的，有恆成立，
所以 ，解得或，因此的取值範圍為。
答案：（1），；（2）。
點評：本題考查利用導數求函式的極值。求可導函式的極值步驟：①求導數；
②求的根；③將的根在數軸上標出，得出單調區間，由在各區間上取值的正負可確定並求出函式的極值。
考點六：函式的最值。
例7. 已知為實數，。求導數；（2）若，求在區間上的最大值和最小值。
解析：（1）， 。
（2），。
令，即，解得或， 則和在區間上隨的變化情況如下表：
，。所以，在區間上的最大值為，最小值為。
答案：（1）；（2）最大值為，最小值為。
點評：本題考查可導函式最值的求法。求可導函式在區間上的最值，要先求出函式在區間上的極值，然後與和進行比較，從而得出函式的最大最小值。
考點七：導數的綜合性問題。
例8. 設函式為奇函式，其圖象在點處的切線與直線垂直，導函式的最小值為。（1）求，，的值；
（2）求函式的單調遞增區間，並求函式在上的最大值和最小值。
解析： （1）∵為奇函式，∴，即
∴，∵的最小值為，∴，又直線的斜率為，因此，，∴，，．
（2）。 ，列表如下：
所以函式的單調增區間是和，∵，，，∴在上的最大值是，最小值是。
答案：（1），，；（2）最大值是，最小值是。
點評：本題考查函式的奇偶性、單調性、二次函式的最值、導數的應用等基礎知識，以及推理能力和運算能力。
導數強化訓練
（一） 選擇題
1. 已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫座標為（ a ）
a．1b．2c．3d．4
2. 曲線在點（1，－1）處的切線方程為 （ b ）
a． b． c． d．
3. 函式在處的導數等於 （ d ）
a．1 b．2 c．3 d．4
4. 已知函式的解析式可能為 （ a ）
a． b．
c． d．
5. 函式，已知在時取得極值，則=（ d ）
（a）2b）3c）4d）5
6. 函式是減函式的區間為( d )
7. 若函式的圖象的頂點在第四象限，則函式的圖象是（ a ）
8. 函式在區間上的最大值是（ a ）
abcd．
9. 函式的極大值為，極小值為，則為 （ a ）
a．0b．1c．2d．4
10. 三次函式在內是增函式，則 （ a ）
abcd．
11. 在函式的圖象上，其切線的傾斜角小於的點中，座標為整數的點的個數是d ）
a．3 b．2 c．1 d．0
12. 函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象如圖所示，則函式在開區間內有極小值點（ a ）
a．1個b．2個
c．3個d． 4個
（二） 填空題
13. 曲線在點處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為
14. 已知曲線，則過點「改為在點」的切線方程是
15. 已知是對函式連續進行n次求導，若，對於任意，都有=0，則n的最少值為
16. 某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運費為4萬元／次，一年的總儲存費用為萬元，要使一年的總運費與總儲存費用之和最小，則噸．
（三） 解答題
17. 已知函式，當時，取得極大值7；當時，取得極小值．求這個極小值及的值．
18. 已知函式
（1）求的單調減區間；
（2）若在區間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區間上的最小值.
19. 設，點p（，0）是函式的圖象的乙個公共點，兩函式的圖象在點p處有相同的切線。
（1）用表示；
（2）若函式在（－1，3）上單調遞減，求的取值範圍。
高中數學導數知識點歸納總結
導數主要內容 導數的背影 導數的概念 多項式函式的導數 利用導數研究函式的單調性和極值 函式的最大值和最小值 考試要求 1 了解導數概念的某些實際背景 2 理解導數的幾何意義 3 掌握函式，y c c為常數 y xn n n 的導數公式，會求多項式函式的導數 4 理解極大值 極小值 最大值 最小值的...
高中數學導數知識點歸納總結
一 基本概念 1.導數的定義 設是函式定義域的一點，如果自變數在處有增量，則函式值也引起相應的增量 比值稱為函式在點到之間的平均變化率 如果極限存在，則稱函式在點處可導，並把這個極限叫做在處的導數。在點處的導數記作 2 導數的幾何意義 求函式在某點處的切線方程 函式在點處的導數的幾何意義就是曲線在點...
高中數學導數知識點歸納總結及例題
導數考試內容 導數的背影 導數的概念 多項式函式的導數 利用導數研究函式的單調性和極值 函式的最大值和最小值 考試要求 1 了解導數概念的某些實際背景 2 理解導數的幾何意義 3 掌握函式，y c c為常數 y xn n n 的導數公式，會求多項式函式的導數 4 理解極大值 極小值 最大值 最小值的...