一、導數的概率
設函式在處附近有定義，當自變數在處有增量時，則函式相應地有增量，如果時，與的比（也叫函式的平均變化率）有極限即無限趨近於某個常數，我們把這個極限值叫做函式在處的導數，記作，即
注：1.函式應在點的附近有定義，否則導數不存在。
2.在定義導數的極限式中，趨近於0可正、可負、但不為0，而可能為0。
3. 是函式對自變數在範圍內的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點（）及點）的割線斜率。
4.導數是函式在點的處瞬時變化率，它反映的函式在點處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率。因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為。
5.導數是乙個區域性概念，它只與函式在及其附近的函式值有關，與無關。
6.在定義式中，設，則，當趨近於0時，趨近於，因此，導數的定義式可寫成。
7.若極限不存在，則稱函式在點處不可導。
8.若在可導，則曲線在點（）有切線存在，反之不然。若曲線在點（）有切線，函式在不一定可導，並且，若函式在不可導，曲線在點（）也可能有切線。
一般地， ，其中為常數。特別地，。
如果函式在開區間內的每點處都有導數，此時對於每乙個，都對應著乙個確定的導數，從而構成了乙個新的函式。稱這個函式為函式在開區間內的導函式，簡稱導數，也可記作，即＝＝
函式在處的導數就是函式在開區間上導數在處的函式值，即＝。所以函式在處的導數也記作。
注：1.如果函式在開區間內每一點都有導數，則稱函式在開區間內可導。
2.導數與導函式都稱為導數，這要加以區分：求乙個函式的導數，就是求導函式；求乙個函式在給定點的導數，就是求導函式值。它們之間的關係是函式在點處的導數就是導函式在點的函式值。
3.求導函式時，只需將求導數式中的換成就可，即＝
4.由導數的定義可知，求函式的導數的一般方法是：
（1）.求函式的改變量。
（2）.求平均變化率。
（3）.取極限，得導數＝。
二.練習題
（一）、選擇題
1．若函式在區間內可導，且則
的值為（ ）
a． b． c． d．
2．乙個物體的運動方程為其中的單位是公尺，的單位是秒，
那麼物體在秒末的瞬時速度是（ ）
a．公尺/秒 b．公尺/秒
c．公尺/秒 d．公尺/秒
3．函式的遞增區間是（ ）
ab．c． d．
4．,若,則的值等於（ ）
ab．c． d．
5．函式在一點的導數值為是函式在這點取極值的（ ）
a．充分條件 b．必要條件
c．充要條件 d．必要非充分條件
6．函式在區間上的最小值為（ ）
abcd．
（二）、填空題
1．若，則的值為
2．曲線在點處的切線傾斜角為
3．函式的導數為
4．曲線在點處的切線的斜率是切線的方程為
5．函式的單調遞增區間是
（三）、解答題
1．求垂直於直線並且與曲線相切的直線方程。
2．求函式的導數。
3．求函式在區間上的最大值與最小值。
4．已知函式，當時，有極大值；
（1）求的值；（2）求函式的極小值。
（一）、選擇題
1．函式有（ ）
a．極大值，極小值
b．極大值，極小值
c．極大值，無極小值
d．極小值，無極大值
2．若，則（ ）
a． b．
c． d．
3．曲線在處的切線平行於直線，則點的座標為（ ）
ab．c．和 d．和
4．與是定義在r上的兩個可導函式，若,滿足,則
與滿足（ ）
ab． 為常數函式
cd． 為常數函式
5．函式單調遞增區間是（ ）
a． b． c． d．
6．函式的最大值為（ ）
a． b． c． d．
（二）、填空題
1．函式在區間上的最大值是 。
2．函式的影象在處的切線在x軸上的截距為
3．函式的單調增區間為單調減區間為
4．若在增函式，則的關係式為是
5．函式在時有極值，那麼的值分別為________。
（三）、解答題
1． 已知曲線與在處的切線互相垂直，求的值。
2．如圖，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去
四個相同的小正方形，製成乙個無蓋的小盒子，問小正方形的邊長
為多少時，盒子容積最大？
3． 已知的圖象經過點，且在處的切線方程是
（1）求的解析式；（2）求的單調遞增區間。
4．平面向量，若存在不同時為的實數和，使
且，試確定函式的單調區間。
（一）、選擇題
1．若,則等於（ ）
ab． c． d．
2．若函式的圖象的頂點在第四象限，則函式的圖象是（ ）
3．已知函式在上是單調函式,則實數的
取值範圍是（ ）
a． b．
c． d．
4．對於上可導的任意函式，若滿足，則必有（ ）
a． b.
c. d.
5．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）
a． b． c． d．
6．函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象如圖所示，
則函式在開區間內有極小值點（ ）
a．個 b．個 c．個 d．個
（二）、填空題
1．若函式在處有極大值，則常數的值為
2．函式的單調增區間為
3．設函式，若為奇函式，則
4．設，當時，恆成立，則實數的
取值範圍為
5．對正整數，設曲線在處的切線與軸交點的縱座標為，則數列的前項和的公式是
三、解答題
1．求函式的導數。
2．求函式的值域。
3．已知函式在與時都取得極值
(1)求的值與函式的單調區間。
(2)若對，不等式恆成立，求的取值範圍。
4．已知,，是否存在實數,使同時滿足下列兩個條件：（1）在上是減函式，在上是增函式；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，說明理由.
三.導數綜合應用
1.已知函式的圖象如圖所示．
（i）求的值；
（ii）若函式在處的切線方程為，求函式的解析式；
（iii）在（ii）的條件下，函式與的圖象有三個不同的交點，求的取值範圍．
2．已知函式．
（i）求函式的單調區間；
（ii）函式的圖象的在處切線的斜率為若函式在區間（1，3）上不是單調函式，求m的取值範圍．
3．已知函式的圖象經過座標原點，且在處取得極大值．
（i）求實數的取值範圍；
（ii）若方程恰好有兩個不同的根，求的解析式；
（iii）對於（ii）中的函式，對任意，求證：．
4．已知常數，為自然對數的底數，函式，．
（i）寫出的單調遞增區間，並證明；
（ii）討論函式在區間上零點的個數．
5．已知函式．
（i）當時，求函式的最大值；
（ii）若函式沒有零點，求實數的取值範圍；
6．已知是函式的乙個極值點（）．
（i）求實數的值；
（ii）求函式在的最大值和最小值．
7．已知函式
（i）當a=18時，求函式的單調區間；
（ii）求函式在區間上的最小值．
8．已知函式在上不具有單調性．
（i）求實數的取值範圍；
（ii）若是的導函式，設，試證明：對任意兩個不相等正數，不等式恆成立．
9．已知函式
（i）討論函式的單調性；
（ii）證明：若
10．已知函式．
（i）若函式在區間上都是單調函式且它們的單調性相同，求實數的取值範圍；
（ii）若，設，求證：當時，不等式成立．
11．設曲線：（），表示導函式．
（i）求函式的極值；
（ii）對於曲線上的不同兩點，，，求證：存在唯一的，使直線的斜率等於．
12．定義，
（i）令函式，寫出函式的定義域；
（ii）令函式的圖象為曲線c，若存在實數b使得曲線c在處有斜率為－8的切線，求實數的取值範圍；
（iii）當且時，求證．
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