《圓》章節知識點複習
名詞解釋：
1. 弦——連線圓上任意兩點的線段叫做弦。
2. 弧——圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。
3. 半圓——圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，第一條弧都叫做半圓。
4. 等圓——能夠重合的兩個圓叫做等圓。
5. 等弧——在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。
6. 圓心角——頂點在圓心的角叫做圓心角。
7. 圓周角——頂點在圓上，且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。
8. 圓內接多邊形——如果乙個多邊形的所有頂點都在同乙個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。
9. 外心——外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。
10. 內心——三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心。
11. 內切圓——與三角形各邊相切的圓叫做三角形的內切圓。
12. 割線——直線和圓有兩個公共點（直線和圓相交），這條直線叫做圓的割線。
13. 切線——直線和圓只有乙個公共點（直線和圓相切），這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。
14. 切線長——經邊圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。
15. 圓心距——兩個圓圓心的距離叫做圓心距。
16. 中心——正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。
17. 中心角——正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。
18. 邊心距——中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。
19. 扇形——由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。
20. 母線——連線圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。
一、圓的概念
集合形式的概念： 1、圓可以看作是到定點的距離等於定長的點的集合；
2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大於定長的點的集合；
3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小於定長的點的集合
軌跡形式的概念：
1、圓：到定點的距離等於定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；
2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；（補充）
3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；
4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行於這條直線且到這條直線的距離等於定長的兩條直線；
5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行於這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點與圓的位置關係
1、點在圓內點在圓內；
2、點在圓上點在圓上；
3、點在圓外點在圓外；
三、直線與圓的位置關係
1、直線與圓相離無交點；
2、直線與圓相切有乙個交點；
3、直線與圓相交有兩個交點；
四、圓與圓的位置關係
外離（圖1） 無交點 ；
外切（圖2）有乙個交點；
相交（圖3）有兩個交點；
內切（圖4）有乙個交點；
內含（圖5） 無交點 ；
五、垂徑定理
垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。
推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：
①是直徑弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2個條件推出其他3個結論。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
弧弧六、圓心角定理
圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，
只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，
即：①；②；
③；④ 弧弧
七、圓周角定理
1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。
即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角
∴2、圓周角定理的推論：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角
推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。
即：在⊙中，∵是直徑或∵
是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
是直角三角形或
注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等於斜邊的一半的逆定理。
八、圓內接四邊形
圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等於它的內對角。
即：在⊙中，
四邊形是內接四邊形
九、切線的性質與判定定理
（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直於半徑的直線是切線；
兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可
即：∵且過半徑外端
是⊙的切線
（2）性質定理：切線垂直於過切點的半徑（如上圖）
推論1：過圓心垂直於切線的直線必過切點。
推論2：過切點垂直於切線的直線必過圓心。
以上三個定理及推論也稱二推一定理：
即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最後乙個。
十、切線長定理
切線長定理：
從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
即：∵、是的兩條切線
∴平分十
一、圓冪定理
（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。
即：在⊙中，∵弦、相交於點，
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
即：在⊙中，∵直徑，
（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
即：在⊙中，∵是切線，是割線
（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。
即：在⊙中，∵、是割線
十二、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直並且平分這兩個圓的的公共弦。
如圖：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交於、兩點
垂直平分
十三、圓的公切線
兩圓公切線長的計算公式：
（1）公切線長：中，；
（2）外公切線長：是半徑之差； 內公切線長：是半徑之和 。
十四、圓內正多邊形的計算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有關計算在中進行：；
（2）正四邊形
同理，四邊形的有關計算在中進行，：
（3）正六邊形
同理，六邊形的有關計算在中進行，.
十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式
1、扇形：（1）弧長公式：；
（2）扇形面積公式：
：圓心角 ：扇形多對應的圓的半徑 ：扇形弧長：扇形面積
2、圓柱：
（1）圓柱側面展開圖
=（2）圓柱的體積：
（2）圓錐側面展開圖
（1）=
（2）圓錐的體積：
【典型例題】
例1.（1）如圖7.1-1.oe、of分別是⊙o的弦ab、cd
的弦心距，若oe=of，則（只需寫出乙個正確的結論）.
（2）如圖7.1-2.已知，ab為⊙o的直徑，d為弦ac的中點，bc=6cm,則od=.
例2.（1）下列命題中真命題是（ ）.
a. 平分弦的直徑垂直於弦b.圓的半徑垂直於圓的切線
c.到圓心的距離大於半徑的點在圓內d.等弧所對的圓心角相等
（2）如圖7.1-3.ab是⊙o的直徑，cd是⊙o弦，若ab=10cm,cd=8cm，那麼a、b兩點到直線cd的距離之和為（ ）.
a.12cmb.10cm c.8cm d.6cm
(3)已知如圖7.1-4圓心角∠boc=100，則圓周角∠bac的度數是（ ）.
a.50 b.100 c.130 d.200
例3.圓內接四邊形abcd，∠a、∠b、∠c的度數的比是1∶2∶3，則這個四邊形的最大角是.
例4.已知，如圖7.1-5 bc為半圓o的直徑，f是半圓上異於bc的點，a是bf的中點，ad⊥bc於點d，bf交ad於點e.
（1） 求證：bebf=bdbc
（2） 試比較線段bd與ae的大小，並說明道理.
例5.如圖7.4-1，矩形abcd，ad=8，dc=6，在對角線ac上取一點o，以oc為半徑的圓切ad於e，交bc於f，交cd於g.
（1）求⊙o的半徑r；
（2）設∠bfe=α，∠ged=β，請寫出α、β、90三者之間的關係式（只需寫出乙個），並證明你的結論.
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