② 垂徑定理: 垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧．
垂徑定理的推論:
平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧.
弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧.
平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧．
③ 在同一圓內，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於該弧所對的圓心角的一半.
④ 圓內接四邊形的性質:
圓的內接四邊形對角互補，並且任何乙個外角等於它的內對角.
（2）點與圓的位置關係
① 設點與圓心的距離為，圓的半徑為，
則點在圓外； 點在圓上； 點在圓內．
② 過不在同一直線上的三點有且只有乙個圓. 乙個三角形有且只有乙個外接圓.
③ 三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點.
三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.
（3）直線與圓的位置關係
① 設圓心到直線的距離為，圓的半徑為，
則直線與圓相離；直線與圓相切；直線與圓相交．
② 切線的性質:與圓只有乙個公共點；
圓心到切線的距離等於半徑；
圓的切線垂直於過切點的半徑.
③ 切線的識別:如果一條直線與圓只有乙個公共點，那麼這條直線是圓的切線.
到圓心的距離等於半徑的直線是圓的切線.
經過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線.
④ 三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點.
三角形的內心到三角形三邊的距離相等.
⑤ 切線長：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.
⑥ 切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等.
這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.
（4）圓與圓的位置關係
① 圓與圓的位置關係有五種:外離、外切、相交、內切、內含.
設兩圓心的距離為，兩圓的半徑為，則兩圓外離
兩圓外切
兩圓相交
兩圓內切
兩圓內含
② 兩個圓構成軸對稱圖形，連心線（經過兩圓圓心的直線）是對稱軸.
由對稱性知:兩圓相切，連心線經過切點. 兩圓相交，連心線垂直平分公共弦.
③ 兩圓公切線的定義:和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線.
兩個圓在公切線同旁時,這樣的公切線叫做外公切線.
兩個圓在公切線兩旁時,這樣的公切線叫做內公切線.
④ 公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長.
（5）與圓有關的計算
① 弧長公式： 扇形面積公式：
（其中為圓心角的度數，為半徑）
② 圓柱的側面展開圖是矩形．
圓柱體也可以看成是乙個矩形以矩形的一邊為軸旋轉而形成的幾何體．
圓柱的側面積＝底面周長×高
圓柱的全面積＝側面積＋２×底面積
③ 圓錐的側面展開圖是扇形，這個扇形的弧長等於圓錐底面的周長，扇形的半徑等於圓錐的母線長．
圓錐體可以看成是由乙個直角三角形以一條直角邊為軸旋轉而成的幾何體．
④ 圓錐的側面積＝×底面周長×母線；圓錐的全面積＝側面積＋底面積
3、能力要求
例1 如圖，ac為⊙o 的直徑，b、d、e都是⊙o上的點，求∠a+∠b +∠c的度數.
【分析】由ac為直徑，可以得出它所對的圓周角是直角，所以鏈結ae，這樣將∠cad（∠a）、∠c放在了△aec中，而∠b與∠ead是同弧所對的圓周角相等，這樣問題迎刃而解．
【解鏈結ae
∵ac是⊙o的直徑 ∴∠aec=90o
∴∠cad +∠ead+∠c =90o
b=∠ead
∴∠cad +∠b+∠c =90o
【說明】這裡通過將∠b轉化為∠ead，從而使原本沒有聯絡的∠a、∠b 、∠c都在 △aec中，又利用「直徑對直角」得到它們的和是90o．解題中一方面注意到了隱含條件「同弧所對的圓周角相等」，另一方面也注意到了將「特殊的弦」（直徑）轉化為「特殊的角」（直角），很好地體現了「轉化」的思想方法．
練習二一、知識點：
㈠、確定圓的條件
1．過已知兩點的圓的圓心組成的圖形是
確定乙個圓．
2.三角形的三個頂點確定乙個圓，這個圓叫做三角形的它的圓心叫做三角形的_______，它是三角形的交點；這個三角形叫做圓的
3．三角形外心的位置：
銳角三角形的外心在
直角三角形的外心是
鈍角三角形的外心在
㈡直線和圓的位置關係
1．直線和圓的位置關係有三種：（123
2．當直線和圓公共點時，叫做直線和圓相交，此時圓心到直線的距離_______半徑；
當直線和圓公共點時，叫做直線和圓相切，此時圓心到直線的距離_______半徑；
當直線和圓公共點時，叫做直線和圓相離，此時圓心到直線的距離_______半徑；
3．切線的性質：圓的切線
如圖可表述為：
或：pa切⊙o於點a
4．判定直線為圓的切線：經過並且垂直於的直線是圓的切線。
如圖可表述為：
5．和三角形各邊的圓叫做三角形的它的圓心叫做三角形的是三角形的交點; 這個三角形叫做圓的
6.過圓外一點可引圓的______條切線，這個點到各個切點的距離
二、一些常見關係及輔助線作法：
7.已知⊙o中，直徑cd⊥ab於點e，
⑴若a＝r，則∠aob＝_______，d＝______（用含r的代數式表示）．
⑵若a＝r，則∠aob＝_______，d＝______（用含r的代數式表示）．
⑶若a＝r，則∠aob＝_______，d＝______（用含r的代數式表示）．
8. 已知△abc是⊙o的內接三角形，⊙i的外切三角形。設⊙o的半徑為r，⊙i的半徑為r。
⑴若△abc的周長為s，則△abc的面積與s，r的關係為
⑵若△abc是邊長為a的等邊三角形，則r＝_______，r＝______（用含a的代數式表示）．
⑶若△abc是直角邊長為a, b，斜邊長為c的直角三角形，則r＝_______，r用含a, b, c的代數式表示）．
⑷若△abc是直角邊長為a的等腰直角三角形，則r＝_______，r＝_______（用含a的代數式表示）．
⑸若△abc是腰長為a，頂角為120的等腰三角形，則r＝_______（用含a的代數式表示）．
9.已知直線是圓的切線，常作的輔助線是連線得
10.證明一條直線是圓的切線方法：
⑴證明直線和圓只有乙個公共點（不常用）
⑵已知直線和圓有乙個公共點時所作的輔助線為證明
⑶已知中沒有說明直線和圓的公共點時所作的輔助線為證明
11. 作△abc的外接圓的方法：分別作兩邊的使這兩條直線交於點o，以ｏ為圓心，oa為半徑作圓。所作的圓就是△abc的外接圓。
12．作△abc的內切圓的方法：⑴分別作兩內角的使這兩條線段交於點i；⑵過i作ie⊥bc於e；⑶以i為圓心，ie為半徑作圓。所作的圓就是△abc的內切圓。
三、課堂練習題：
13．下列命題中，真命題的個數是 （ ）
①經過三點一定可以作圓；②任意乙個圓一定有乙個內接三角形，並且只有乙個內接三角形。③任意乙個三角形一定有乙個外接圓，並且只有乙個外接圓，④三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等。
a. 4個 b. 3個 c. 2個 d. 1個
14．如圖，直角座標系中一條圓弧經過網格點a、b、c，其中b點座標為（4，4），則該圓弧所在的圓的圓心的座標 。
第14題第15題第16題
15. 圖中△abc外接圓的圓心座標是
16. 如圖，方格紙上一圓經過（2，5），（2，－3）兩點，則該圓圓心的座標為
17. 乙隻貓觀察到一老鼠洞的全部三個出口，它們不在一條直線上，這只貓應蹲在地方，才能最省力地顧及到三個洞口。
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圓 章節知識點複習 名詞解釋 1.弦 連線圓上任意兩點的線段叫做弦。2.弧 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。3.半圓 圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，第一條弧都叫做半圓。4.等圓 能夠重合的兩個圓叫做等圓。5.等弧 在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。6.圓心角 頂點在圓心的角...
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3 適用條件 液體 或氣體 6 漂浮問題 五規律 規律一 物體漂浮在液體中，所受的浮力等於它受的重力 規律二 同一物體在不同液體裡漂浮，所受浮力相同 規律三 同一物體在不同液體裡漂浮，在密度大的液體裡浸入的體積小 規律四 漂浮物體浸入液體的體積是它總體積的幾分之幾，物體密度就是液體密度的幾分之幾 規...