導數及其應用
一、定義及意義
1. 定義及概念: =
2. 導數的意義，①物理意義：瞬時速率，變化率
幾何意義：切線斜率
代數意義：函式增減速率
二、導數的計算
1.基本初等函式的導數公式
① （c為常數），即常數的導數等於0。
2.導數的運算法則①②
③3.復合函式求導
和,稱則可以表示成為的函式,即為乙個復合函式
三、導數在研究函式中的應用
1.函式的單調性
一般的，在某個區間內，如果（等於），那麼函式在這個區間單調遞增；如果（等於），那麼函式在這個區間單調遞減；如果恒有 ，則在這一區間上為常函式。(單調增或單調減區間內，可以存在)
2.函式的極值與導數
極值：設函式在點附近（區間）有定義，如果對附近的所有點，都有 ，則說是函式的乙個極大值，記作 ；如果對附近的所有點，都有 ，則說是函式的乙個極小值，記作。
設函式可導，且在點處連續，判定是極大（小）值的方法是：
（ⅰ）如果在點附近的左側 ，右側 ，則為極大值；
（ⅱ）如果在點附近的左側 ，右側 ，則為極小值；
注意：導數為0的不一定是極值點，如；函式y=f(x)在一點的導數值為0是函式y=f(x)在這點取極值的既不充分又不必要條件；
3．函式的最大值與最小值（最大值是函式在整個定義區間上所有函式值中的最大值；最小值是函式在整個定義區間上所有函式值中的最小值。）
4.綜合：求函式最大值最小值的步驟
①單調性：（ⅰ）確定函式的定義域；（ⅱ）求導數 ；（ⅲ）令 ，解出相應的x的範圍。當時， 在相應區間上為增函式；當時在相應區間上為減函式。
②極值：（ⅰ）求導數 ；（ⅱ）求方程的實根及不存在的點；
考察在上述方程的根以及不存在的點左右兩側的符號：若左正右負，則在這一點取得極大值，若左負右正，則在這一點取得極小值。
③最值：（ i ）求在內的極值；（ ii ）求在定義區間端點處的函式值 ， ；（ iii ）將的各極值與 ， 比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。
練習題：
一、 定義以及意義的應用
1.一物體的運動方程為，其中最小速度是_______；
2. 向高為的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量與水深的函式關係如圖所示，那麼水瓶的形狀是（ ）
3. 如果質點按規律運動，則在時的瞬時速度是（ ）
a． bcd．
4. 設球的半徑為時間t的函式。若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑( )
a.成正比，比例係數為cb. 成正比，比例係數為2c
c.成反比，比例係數為cd. 成反比，比例係數為2c
5.是函式的導函式，將和的圖象畫在同乙個直角座標系中，不可能正確的是（ ）
二、 導數的計算（切線）
求下列函式的導數：
（12） ；
（34） ；
（5（12）
(1)y=(5x－3)42)y=(2+3x)5 (3)y=(2－x2)3 (4)y=(2x3+x)2
(1)y= (2)y= (3)y=sin(3x－) (4)y=cos(1+x2)
(1) y =sinx3+sin33x2） (3)
1、設則 （ ）。
a、 b、 c、 d、
2.曲線與在交點處的切線夾角是________
3. 過原點作曲線的切線，則切點座標為______ ，切線的斜率為______
4.曲線在點處的切線與x軸，直線所圍成的三角形面積為 ，則
5. 設曲線在點處的切線與直線垂直，則 ．
6. 直線是曲線的一條切線，則實數b＝
7. 已知函式在r上滿足，則曲線在點處的切線方程是_______
8. 設函式，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為_________
9. 若曲線存在垂直於軸的切線，則實數取值範圍是
10.設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫座標為,令，則的值為
11. 曲線y=+1在點(0，2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為_______
三、導函式及其應用
1. (05江西)已知函式的圖象如右圖所示(其中是函式的導函式)，下面四個圖象中的圖象大致是（ ）
2. 設 ， 分別是定義在r上的奇導數和偶導數，當時， ，且 ，則不等式的解集是（ ）
a、（-3，0）∪（3b、（-3，0）∪（0，3）
c、（-∞，-3）∪（3d、（-∞，-3）∪（0，3）
3.已知函式是定義在r上的奇函式，，，則不等式的解集是
4.已知可導函式，則當時，大小關係為（ ）
（a） （b） （c） （d）
5.函式的減區間是
6. 函式有極值的充要條件為（ ）
a、 b、 c、 d、
的極小值為( )
b.0c.－1 d.1
8．函式在[0,3]上的最大值與最小值分別是（ ）
a.5 , - 15 b.5 , 4 c.- 4 , - 15 d.5 , - 16
9.函式y=，在［－1，1］上的最小值為( )
a.0b.－2c.－1d.
10.函式y=的最大值為( )
a. b.1cd.
11.設y=|x|3,那麼y在區間［－3，－1］上的最小值是( )
a.27b.－3c.－1d.1
12.已知函式f(x)=kx3－3(k+1)x2－k2+1(k>0).若f(x)的單調遞減區間是（0，4），
（1）求k的值；
（2）當k3－.
13.三次函式f(x)=x3－3bx+3b在［1，2］內恒為正值，求b的取值範圍.
14.已知函式f(x)=x3+ax2+bx+c,當x=－1時，取得極大值7；當x=3時，取得極小值.求這個極小值及a、b、c的值.
15.函式f(x)=x++b有極小值2，求a、b應滿足的條件.
16.設y=f(x)為三次函式，且圖象關於原點對稱，當x=時，f(x)的極小值為－1，求函式的解析式.
17.已知：f(x)=log3,x∈(0,+∞).
是否存在實數a、b,使f(x)同時滿足下列兩個條件：（1）f(x)在（0，1）上是減函式，在［1，+∞)上是增函式；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b，若不存在，說明理由.
18.一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面abcd的面積為定值s時，使得溼周l=ab+bc+cd最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b.
一、1.5/3 二、 2. ∏/4 3. (1,e)；e 4. ±1 5.2
6. 7. y=2x-1 8.4 9. (－∞,0) 10.-2 11.1/3三、 3. 5.
12.解：（1）f′(x)=3kx2－6(k+1)x
由f′(x)<0得0∵f(x)的遞減區間是（0，4）
∴=4,∴k=1.
(2)設g(x)=2
g′(x)=
當x>1時，1<∴,∴g′(x)>0
∴g(x)在x∈［1,+∞)上單調遞增
∴x>1時，g(x)>g(1) 即2>3
∴2>3－
13.解：∵x∈［1,2］時，f(x)>0
∴f(1)>0,f(2)>0
∴f(1)=1>0,f(2)=8－3b>0
∴b<又f′(x)=3(x2－b)
(1)若b≤1,則f′(x)≥0
f(x)在［1，2］上單調遞增
f(x)≥f(1)>0
(2)若1由f′(x)=0,得x=
當1≤x≤時，f′(x)≤0
f(x)在［1，］上單調遞減，f(x)≥f()
f()為最小值
當0f(x)在（,2]上單調遞增
f(x)>f()
∴只要f()>0，即10
綜上（1）、（2），∴b的取值範圍為b<.
14.解：f′(x)=3x2+2ax+b.
由韋達定理得
∴a=－3,b=－9，∴f(x)=x3－3x2－9x+c
∵f(－1)=7,∴c=2，極小值f(3)=33－3×32－9×3+2=－25
∴極小值為－25，a=－3,b=－9,c=2.
15.解：f′(x)=
由題意可知f′(x)=0有實根，即x2－a=0有實根
∴a>0，∴x=或x=－，∴f′(x)=
令f′(x)>0,得x<－或x>;
令f′(x)<0,得－∴f(x)在x=－時取得極大值；
f(x)在x=時取得極小值2.
∴++b=2，即2+b=2
∴a、b應滿足的條件為a>0,b=2(1－).
16.解：設函式解析式為f(x)=ax3+bx，f′(x)=3ax2+b
∵f′()=0,f()=－1
得 ∴f(x)=4
17.解：設g(x)=
∵f(x)在（0，1）上是減函式，在［1，+∞)上是增函式
∴g(x)在（0，1）上是減函式，在［1，+∞)上是增函式.∴∴
解得經檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設的兩個條件.
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1 設則 a b c d 2.曲線與在交點處的切線夾角是 3.過原點作曲線的切線，則切點座標為 切線的斜率為 4.曲線在點處的切線與x軸，直線所圍成的三角形面積為 則 5.設曲線在點處的切線與直線垂直，則 6.直線是曲線的一條切線，則實數b 7.已知函式在r上滿足，則曲線在點處的切線方程是 8.設函...
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