1.【2016高考新課標1文數】若函式在單調遞增,則a的取值範圍是（ ）
（a）（b）（c）（d）
【答案】c
【解析】
考點：三角變換及導數的應用
【名師點睛】本題把導數與三角函式結合在一起進行考查,有所創新,求解關鍵是把函式單調性轉化為不等式恆成立,再進一步轉化為二次函式在閉區間上的最值問題,注意與三角函式值域或最值有關的問題,要注意弦函式的有界性.
2.【2016高考四川文科】設直線l1，l2分別是函式f(x)=圖象上點p1，p2處的切線，l1與l2垂直相交於點p，且l1，l2分別與y軸相交於點a，b，則△pab的面積的取值範圍是( )
(a)(0,1) (b) (0,2) (c) (0,+∞) (d) (1,+ ∞)
【答案】a
【解析】
試題分析：設（不妨設），則由導數的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得切線的方程分別為，切線的方程為，即.分別令得又與的交點為，故選a.
考點：1.導數的幾何意義；2.兩直線垂直關係；3.直線方程的應用；4.三角形面積取值範圍.
【名師點睛】本題首先考查導數的幾何意義，其次考查最值問題，解題時可設出切點座標，利用切線垂直求出這兩點的關係，同時得出切線方程，從而得點座標，由兩直線相交得出點座標，從而求得面積，題中把面積用表示後，可得它的取值範圍．解決本題可以是根據題意按部就班一步一步解得結論．這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實而基礎，簡單而實用．
3.【2016高考四川文科】已知函式的極小值點，則=( )
(a)-4 (b) -2 (c)4 (d)2
【答案】d
考點：函式導數與極值.
【名師點睛】本題考查函式的極值．在可導函式中函式的極值點是方程的解，但是極大值點還是極小值點，需要通過這點兩邊的導數的正負性來判斷，在附近，如果時，，時，則是極小值點，如果時，，時，，則是極大值點，
4. [2016高考新課標ⅲ文數]已知為偶函式，當時，，則曲線在
處的切線方程式
【答案】
【解析】
試題分析：當時，，則．又因為為偶函式，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即．
考點：1、函式的奇偶性；2、解析式；3、導數的幾何意義．
【知識拓展】本題題型可歸納為「已知當時，函式，則當時，求函式的解析式」．有如下結論：若函式為偶函式，則當時，函式的解析式為；若為奇函式，則函式的解析式為．
5.【2016高考新課標1文數】（本小題滿分12分）已知函式．
(i)討論的單調性；
(ii)若有兩個零點,求的取值範圍.
【答案】見解析(ii)
【解析】
③若,則,故當時, ,當時, ,所以在單調遞增,在單調遞減.
(ii)(i)設,則由(i)知,在單調遞減,在單調遞增.
又,取b滿足b<0且,
則,所以有兩個零點.
(ii)設a=0,則所以有乙個零點.
(iii)設a<0,若,則由(i)知,在單調遞增.
又當時, <0,故不存在兩個零點；若,則由(i)知,在單調遞減,在單調遞增.又當時<0,故不存在兩個零點.
綜上,a的取值範圍為.
考點：函式單調性,導數應用
【名師點睛】本題第一問是用導數研究函式單調性,對含有引數的函式單調性的確定,通常要根據引數進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡；第二問是求引數取值範圍,由於這類問題常涉及到導數、函式、不等式等知識,越來越受到高考命題者的青睞,解決此類問題的思路是構造適當的函式,利用導數研究函式的單調性或極值破解.
6.【2016高考新課標2文數】已知函式.
（）當時，求曲線在處的切線方程；
（ⅱ）若當時，，求的取值範圍.
【答案】（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
（ii）當時，等價於
考點： 導數的幾何意義，函式的單調性.
【名師點睛】求函式的單調區間的方法：
(1)確定函式y＝f(x)的定義域；
(2)求導數y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．
7.[2016高考新課標ⅲ文數]設函式．
（i）討論的單調性；
（）證明當時，；
（）設，證明當時，.
【答案】（ⅰ）當時，單調遞增；當時，單調遞減；（ⅱ）見解析；（ⅲ）見解析．
【解析】
試題分析：（ⅰ）首先求出導函式，然後通過解不等式或可確定函式的單調性（ⅱ）左端不等式可利用（ⅰ）的結論證明，右端將左端的換為即可證明；（ⅲ）變形所證不等式，構造新函式，然後通過利用導數研究函式的單調性來處理．
試題解析：（ⅰ）由題設，的定義域為，，令，解得.
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減. ………4分
考點：1、利用導數研究函式的單調性；2、不等式的證明與解法．
【思路點撥】求解導數中的不等式證明問題可考慮：（1）首先通過利用研究函式的單調性，再利用單調性進行證明；（2）根據不等式結構構造新函式，通過求導研究新函式的單調性或最值來證明．
8.【2016高考北京文數】（本小題13分）
設函式（）求曲線在點處的切線方程；
（）設，若函式有三個不同零點，求c的取值範圍；
（）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.
【答案iii）見解析.
【解析】
試題分析：（ⅰ）求函式f(x)的導數，根據，求切線方程；
（ⅱ）根據導函式判斷函式f(x)的單調性，由函式有三個不同零點，求c的取值範圍；
（）從兩方面必要性和不充分性證明，根據函式的單調性判斷零點個數.
試題解析：（i）由，得．
因為，，
所以曲線在點處的切線方程為．
（ii）當時，，
所以．令，得，解得或．
與在區間上的情況如下：
所以，當且時，存在，，
，使得．
由的單調性知，當且僅當時，函式有三個不同零點．
當，時，，只有兩個不同
1點， 所以不是有三個不同零點的充分條件．
因此是有三個不同零點的必要而不充分條件．
考點：利用導數研究曲線的切線；函式的零點
【名師點睛】
1．證明不等式問題可通過作差或作商建構函式，然後用導數證明．
2．求引數範圍問題的常用方法：(1)分離變數；(2)運用最值．
3．方程根的問題：可化為研究相應函式的圖象，而圖象又歸結為極值點和單調區間的討論．
4．高考中一些不等式的證明需要通過建構函式，轉化為利用導數研究函式的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造乙個可導函式是用導數證明不等式的關鍵．
9.【2016高考山東文數】(本小題滿分13分)
設f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈r.
(ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調區間；
(ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數a的取值範圍.
【答案】(ⅰ)當時，函式單調遞增區間為；
當時，函式單調遞增區間為，單調遞減區間為.
(ⅱ).
【解析】
可得，則，
當時，時，，函式單調遞增；
當時，時，，函式單調遞增，
時，，函式單調遞減.
所以當時，函式單調遞增區間為；
當時，函式單調遞增區間為，單調遞減區間為.
當時，，單調遞減，
所以在處取得極大值，合題意.
綜上可知，實數a的取值範圍為.
考點：1.應用導數研究函式的單調性、極值；2.分類討論思想.
【名師點睛】本題主要考查導數的計算、應用導數研究函式的單調性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當.
本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.
10.【2016高考天津文數】（（本小題滿分14分）
設函式，，其中
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）若存在極值點，且，其中，求證：；
（ⅲ）設，函式，求證：在區間上的最大值不小於.
【答案】（ⅰ）遞減區間為，遞增區間為，.（ⅱ）詳見解析（ⅲ）詳見解析
【解析】
試題解析：（1）解：由，可得，下面分兩種情況討論：
當時，有恆成立，所以的單調增區間為.
當時，令，解得或.
當變化時，、的變化情況如下表：
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，.
所以.當時，，
考點：導數的運算，利用導數研究函式的性質、證明不等式
【名師點睛】
1.求可導函式單調區間的一般步驟
(1)確定函式f(x)的定義域(定義域優先)；
(2)求導函式f′(x)；
(3)在函式f(x)的定義域內求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函式f(x)的單調增(減)區間．若遇不等式中帶有引數時，可分類討論求得單調區間．
2．由函式f(x)在(a，b)上的單調性，求引數範圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恆成立問題，要注意「＝」是否可以取到．
11.【2016高考浙江文數】（本題滿分15分）設函式=，.證明：
（i）；
（ii）.
【答案】（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析.
【解析】
考點：函式的單調性與最值、分段函式.
【思路點睛】（i）先用等比數列前項和公式計算，再用放縮法可得，進而可證；（ii）由（i）的結論及放縮法可證．
12.【2016高考四川文科】（本小題滿分14分）
設函式，，其中，e=2.718…為自然對數的底數.
（ⅰ）討論f(x)的單調性；
（ⅱ）證明：當x＞1時，g(x)＞0；
（ⅲ）確定的所有可能取值，使得在區間（1，+∞）內恆成立.
【答案】（1）當時， <0，單調遞減；當時， >0，單調遞增；（2）證明詳見解析；（3）.
【解析】
當時， <0，單調遞減；
當時， >0，單調遞增.
考點：導數的計算、利用導數求函式的單調性，最值、解決恆成立問題．
【名師點睛】本題考查導數的計算、利用導數求函式的單調性，最值、解決恆成立問題，考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力．求函式的單調性，基本方法是求，解方程，再通過的正負確定的單調性；要證明函式不等式，一般證明的最小值大於0，為此要研究函式的單調性．本題中注意由於函式有極小值沒法確定，因此要利用已經求得的結論縮小引數取值範圍．比較新穎，學生不易想到．有一定的難度．
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