高中數學第十四章導數
數學探索版權所有考試要求：
數學探索版權所有了解導數概念的某些實際背景．
數學探索版權所有理解導數的幾何意義．
數學探索版權所有掌握函式，y=c(c為常數)、y=xn(n∈n+)的導數公式，會求多項式函式的導數．
數學探索版權所有理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，並會用導數求多項式函式的單調區間、極大值、極小值及閉區間上的最大值和最小值．
數學探索版權所有會利用導數求某些簡單實際問題的最大值和最小值．
§14. 導數知識要點
1. 導數（導函式的簡稱）的定義：
設是函式定義域的一點，如果自變數在處有增量，則函式值也引起相應的增量；比值稱為函式在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函式在點處可導，並把這個極限叫做在處的導數，記作或，即=.
注：①是增量，我們也稱為「改變量」，因為可正，可負，但不為零.
②以知函式定義域為，的定義域為，則與關係為.
2. 函式在點處連續與點處可導的關係：
⑴函式在點處連續是在點處可導的必要不充分條件.
可以證明，如果在點處可導，那麼點處連續.
事實上，令，則相當於.
於是⑵如果點處連續，那麼在點處可導，是不成立的.
例：在點處連續，但在點處不可導，因為，當＞0時，；當＜0時，，故不存在.
注：①可導的奇函式函式其導函式為偶函式.
②可導的偶函式函式其導函式為奇函式.
3. 導數的幾何意義：
函式在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點p處的切線的斜率是，切線方程為
4. 求導數的四則運算法則：
（為常數）
注：①必須是可導函式.
②若兩個函式可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函式均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.
例如：設，，則在處均不可導，但它們和
在處均可導.
5. 復合函式的求導法則：或
復合函式的求導法則可推廣到多個中間變數的情形.
6. 函式單調性：
⑴函式單調性的判定方法：設函式在某個區間內可導，如果＞0，則為增函式；如果＜0，則為減函式.
⑵常數的判定方法；
如果函式在區間內恒有=0，則為常數.
注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上並不是都有，有乙個點例外即x=0時f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.
②一般地，如果f（x）在某區間內有限個點處為零，在其餘各點均為正（或負），那麼f（x）在該區間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.
7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有＜，則是函式的極大值，極小值同理）
當函式在點處連續時，
①如果在附近的左側＞0，右側＜0，那麼是極大值；
②如果在附近的左側＜0，右側＞0，那麼是極小值.
也就是說是極值點的充分條件是點兩側導數異號，而不是=0①. 此外，函式不可導的點也可能是函式的極值點②. 當然，極值是乙個區域性概念，極值點的大小關係是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函式在某一點附近的點不同）.
注①： 若點是可導函式的極值點，則=0. 但反過來不一定成立. 對於可導函式，其一點是極值點的必要條件是若函式在該點可導，則導數值為零.
例如：函式，使=0，但不是極值點.
②例如：函式，在點處不可導，但點是函式的極小值點.
8. 極值與最值的區別：極值是在區域性對函式值進行比較，最值是在整體區間上對函式值進行比較.
注：函式的極值點一定有意義.
9. 幾種常見的函式導數：
i.（為常數
10. 求導的常見方法：
①常用結論：.
②形如或兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.
③無理函式或形如這類函式，如取自然對數之後可變形為，對兩邊求導可得.
練習八導數及其應用
一、選擇題
1．對任意x有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函式為( )
a．f(x)＝x4－2 b．f(x)＝x4＋2 c．f(x)＝x3 d．f(x)＝－x3
2．函式y＝x3－3x2－9x有( )
a．極大值5，極小值－27 b．極大值5，極小值－11
c．極大值5，無極小值 d．極大值－27，無極小值
3．則實數a等於( )
a．－1 b．1 c． d．
4．已知函式f(x)＝ax3＋3x2－x＋2在r上是減函式，則a的取值範圍是( )
a．(－∞，－3) b．(－∞，－3] c．(－3，0) d．[－3，0)
5．已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫座標為( )
a．1 b．2 c．3 d．4
6．若函式f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的頂點在第四象限，則函式f′(x)的圖象是( )
7．設f′(x)是函式f(x)的導函式，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一直角座標系中，不可能正確的是( )
8．曲線在點(1，－1)處的切線方程為( )
a．y＝x－2 b．y＝－3x＋2 c．y＝2x－3 d．y＝－2x＋1
9．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與座標軸所圍三角形的面積為( )
a． b．2e2 c．e2 d．
二、填空題
1． ______．
2．過原點作曲線y＝ex的切線，則切點的座標為______，切線的斜率為______．
3．過曲線y＝x3＋2x上一點(1，3)的切線方程是______．
4．函式f(x)＝xlnx的單調減區間是______．
5．已知函式f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在區間(－∞，＋∞)內既有極大值，又有極小值，則實數a的取值範圍是______．
6．已知函式f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則不等式xf(x)＞0的解集是______．
三、解答題
1．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1，a∈r．
(ⅰ)當a＝－3時，求證：f(x)在r上是減函式；
(ⅱ)如果對x∈r不等式f′(x)≤4x恆成立，求實數a的取值範圍．
2．設函式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點p(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1．
(ⅰ)若y＝f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表示式；
(ⅱ)在(ⅰ)的條件下，求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值．
3．已知函式f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈r)．
(ⅰ)當a＝1時，求f(x)的單調區間；
(ⅱ)是否存在實數a，使f(x)的極大值為3；若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．
4．設函式f(x)＝ln(2x＋3)＋x2．
(ⅰ)討論f(x)的單調性；
(ⅱ)求f(x)在區間的最大值和最小值．
參***
練習八導數及其應用
一、選擇題
1．a 2．a 3．b 4．b 5．a 6．a 7．d 8．d 9．d
二、填空題
1．5－e2 2．(1，e)，e
3．5x－y－2＝0 4． 5．a＞9或a＜0 6．(－∞，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)
三、解答題
1．解：(ⅰ)當a＝－3時，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1，
∵f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，∴f(x)在r上是減函式．
(ⅱ)∵x∈r不等式f′(x)≤4x恆成立，即x∈r不等式3ax2＋6x－1≤4x恆成立，
∴x∈r不等式3ax2＋2x－1≤0恆成立．當a＝0時， x∈r 2x－1≤0不恆成立；
當a＜0時， x∈r不等式3ax2＋2x－1≤0恆成立，即＝4＋12a≤0，
當a＞0時， x∈r不等式3ax2＋2x－1≤0不恆成立．綜上，a的取值範圍是
2．解：(ⅰ)由函式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，求導數得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
過y＝f(x)上點p(1，f(1))的切線方程為：y＝3x＋1，
故即∵y＝f(x)在x＝－2時有極值，故f′(－2)＝0，∴－4a＋b＝－12……③
由①②③解得a＝2，b＝－4，c＝5，
f(x)＝x3＋2x2－4x＋5．
(ⅱ)f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
由**或者分析說明
f(x)極大＝f(－2)＝(－2)3＋2(－2)2－4(－2)＋5＝13，
f(1)＝13＋2×1－4×1＋5＝4，∴f(x)在[－3，1]上最大值為13．
3．解：(ⅰ)f(x)＝(x2＋x＋1)ex，f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex
＝(x2＋3x＋2)ex，
當f′(x)＞0時，解得x＜－2或x＞－1；當f′(x)＜0時，解得－2＜x＜－1．
所以函式的單調增區間為(－∞，－2)，(－1，＋∞)；
單調減區產為(－2，－1)．
(ⅱ)f(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex
＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，
∴x＝－a，x＝－2，
列表如下：∵a≤2，∴－a≥－2
由表可知f極大(x)＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，解得a＝4－3e2≤2，所以存在實數a，使f(x)的極大值為3．
4．解：f(x)的定義域為
(ⅰ)當時，；當時，；當時，
從而，f(x)分別在區間單調增加，在區間單調減少．
(ⅱ)由(ⅰ)知f(x)在區間的最小值為
又所以f(x)在區間的最大值為
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一 基礎知識 1 極限定義 1 若數列滿足，對任意給定的正數 總存在正數m，當n m且n n時，恒有 un a 成立 a為常數 則稱a為數列un當n趨向於無窮大時的極限，記為，另外 a表示x大於x0且趨向於x0時f x 極限為a，稱右極限。類似地表示x小於x0且趨向於x0時f x 的左極限。2 極限...
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一 熱機 1 如圖所示，是某種內燃機某一衝程的示意圖，由圖可知 1 這種內燃機是 2 它表示的是壓縮衝程 3 在這個衝程中機械能轉化為內能 4 完成這一衝程，曲軸和飛輪轉半圈 5 仔細觀察其銘牌，可看見 1800r min 字樣，則它正常工作時，1秒鐘對外做功15次 2 某四衝程汽油機的轉速是150...