2010高中數學競賽標準講義：第十四章：極限與導數
一、 基礎知識
1．極限定義：（1）若數列滿足，對任意給定的正數ε，總存在正數m，當n>m且n∈n時，恒有|un-a|<ε成立（a為常數），則稱a為數列un當n趨向於無窮大時的極限，記為，另外=a表示x大於x0且趨向於x0時f(x)極限為a，稱右極限。類似地表示x小於x0且趨向於x0時f(x)的左極限。
2．極限的四則運算：如果f(x)=a, g(x)=b，那麼[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)g(x)]=ab,
3.連續：如果函式f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，並且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區間[a,b]上的連續函式，那麼f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．導數：若函式f(x)在x0附近有定義，當自變數x在x0處取得乙個增量δx時（δx充分小），因變數y也隨之取得增量δy(δy=f(x0+δx)-f(x0)).若存在，則稱f(x)在x0處可導，此極限值稱為f(x)在點x0處的導數（或變化率），記作(x0)或或，即。
由定義知f(x)在點x0連續是f(x)在x0可導的必要條件。若f(x)在區間i上有定義，且在每一點可導，則稱它在此敬意上可導。導數的幾何意義是：
f(x)在點x0處導數(x0)等於曲線y=f(x)在點p(x0,f(x0))處切線的斜率。
6．幾個常用函式的導數：（1）=0（c為常數）；（2）（a為任意常數）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）
7．導數的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導，且u(x)≠0,則
（1）；（2）；（3）（c為常數）；（4）；（5）。
8．復合函式求導法：設函式y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導，f(u)在對應的點u(u=(x))處可導，則復合函式y=f[(x)]在點x處可導，且（f[(x)]=.
9.導數與函式的性質：（1）若f(x)在區間i上可導，則f(x)在i上連續；（2）若對一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調遞增；（3）若對一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調遞減。
10．極值的必要條件：若函式f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則
11.極值的第一充分條件：設f(x)在x0處連續，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內可導，（1）若當x∈(x-δ,x0)時，當x∈(x0,x0+δ)時，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當x∈(x0-δ，x0)時，當x∈(x0,x0+δ)時，則f(x)在x0處取得極大值。
12．極值的第二充分條件：設f(x)在x0的某領域(x0-δ,x0+δ)內一階可導，在x=x0處二階可導，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，則f(x)在x0處取得極大值。
13．羅爾中值定理：若函式f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明] 若當x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對任意x∈(a,b)，.若當x∈(a,b)時，f(x)≠f(a)，因為f(x)在[a,b]上連續，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有乙個不等於f(a)，不妨設最大值m>f(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。
14．lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明] 令f(x)=f(x)-,則f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，且f(a)=f(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即
15．曲線凸性的充分條件：設函式f(x)在開區間i內具有二階導數，（1）如果對任意x∈i,,則曲線y=f(x)在i內是下凸的；（2）如果對任意x∈i,,則y=f(x)在i內是上凸的。通常稱上凸函式為凸函式，下凸函式為凹函式。
16．琴生不等式：設α1,α2,…,αn∈r+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函式，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法與例題
1．極限的求法。
例1 求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）
[解]（1）=；
（2）當a>1時，
當0當a=1時，
（3）因為而所以
（4）例2 求下列極限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|<1)；
（2）；（3）。
[解] （1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)
=（2）
=（3）
=2．連續性的討論。
例3 設f(x)在(-∞,+∞)內有定義，且恆滿足f(x+1)=2f(x)，又當x∈[0,1)時，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續性。
[解] 當x∈[0,1)時，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當x∈[1,2)時，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因為t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時,有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，當x∈[1,2)時，令x+1=t，則當t∈[2,3)時，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以
所以 ，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續。
3．利用導數的幾何意義求曲線的切線方程。
[解] 因為點(2,0)不在曲線上，設切點座標為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因為此切線過點（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0.
4．導數的計算。
例5 求下列函式的導數：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x>0且)。
[解] （1）3cos(3x+1).
(2)（3）
（4）（5）
5．用導數討論函式的單調性。
例6 設a>0，求函式f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調區間。
[解] ，因為x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0.
（1）當a>1時，對所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增；（2）當a=1時，對x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）內遞增，又f(x)在x=1處連續，因此f(x)在(0,+∞)內遞增；（3）當00，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內單調遞增，在(2-a+,+∞)內也單調遞增，而當2-a-6．利用導數證明不等式。
例7 設，求證：sinx+tanx>2x.
[證明] 設f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當時，（因為0f(0)=0，即sinx+tanx>2x.
7.利用導數討論極值。
例8 設f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，並指出這時f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。
[解] 因為f(x)在(0,+∞)上連續，可導，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得
所以.所以當x∈(0,1)時，，所以f(x)在(0,1]上遞減；
當x∈(1,2)時，，所以f(x)在[1，2]上遞增；
當x∈(2,+∞)時，，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。
綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。
例9 設x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函式f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
[解] 首先，當x∈[0,π],y∈[0,1]時，
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,
當時，因為cosx>0,tanx>x，所以；
當時，因為cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；
又因為g(x)在(0,π)上連續，所以g(x)在(0,π)上單調遞減。
又因為0<(1-y)xg(x)，即，
又因為，所以當x∈(0,π),y∈(0,1)時，f(x,y)>0.
其次，當x=0時，f(x,y)=0；當x=π時，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
當y=1時，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當y=1時，f(x,y)=sinx≥0.
綜上，當且僅當x=0或y=0或x=π且y=1時，f(x,y)取最小值0。
三、基礎訓練題
12．已知，則a-b34
5．計算
6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函式，且存在，則
7．函式f(x)在(-∞,+∞)上可導，且，則
8．若曲線f(x)=x4-x在點p處的切線平行於直線3x-y=0，則點p座標為
9．函式f(x)=x-2sinx的單調遞增區間是
10．函式的導數為
11．若曲線在點處的切線的斜率為，求實數a.
12.求sin290的近似值。
13．設0四、高考水平練習題
1．計算
2．計算
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